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機(jī)器之心編輯部

前天，挪威科學(xué)與文學(xué)院宣布，2020 年度的阿貝爾獎(jiǎng)將授予兩位著名數(shù)學(xué)家，一位是以色列耶路撒冷希伯來(lái)大學(xué)教授 Hillel Furstenberg，另一位是耶魯大學(xué)教授 Gregory Margulis。二人都曾獲沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，Gregory Margulis 還是 1978 年菲爾茨獎(jiǎng)得主。阿貝爾獎(jiǎng)、沃爾夫獎(jiǎng)、菲爾茲獎(jiǎng)被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的「三大獎(jiǎng)項(xiàng)」，如今，Gregory Margulis 已經(jīng)成為集齊三大獎(jiǎng)項(xiàng)的數(shù)學(xué)家之一。

阿貝爾獎(jiǎng)以挪威數(shù)學(xué)家 Niels Hendrik Abel 的名字命名。自 2003 年起，該獎(jiǎng)項(xiàng)每年頒發(fā)給為數(shù)學(xué)界帶來(lái)重大影響的人。之前的獲獎(jiǎng)?wù)甙ㄗC明了費(fèi)馬大定理的 Andrew J. Wiles、紐約大學(xué)數(shù)學(xué)系教授 Peter D. Lax、電影《美麗心靈》的原型約翰·納什（John F. Nash Jr.），以及 89 歲挑戰(zhàn)黎曼猜想的數(shù)學(xué)家邁克爾·阿蒂亞爵士等。

今年阿貝爾獎(jiǎng)的兩位得主使用隨機(jī)性原理為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究帶來(lái)了新視角。他們?cè)凇冈谌豪碚摗?shù)論以及組合論中運(yùn)用概率論與動(dòng)力學(xué)方法」做出了開(kāi)創(chuàng)性工作，縮短了不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間的間隔，解決了曾經(jīng)看似無(wú)法企及的數(shù)學(xué)難題。

Furstenberg 稱(chēng)，當(dāng)他得知自己獲獎(jiǎng)時(shí)完全不敢相信是真的，早些時(shí)候他并沒(méi)有意識(shí)到自己的想法與工作會(huì)產(chǎn)生如此大的影響。Furstenberg 說(shuō)：「像所有的數(shù)學(xué)家一樣，我只是遵從自己的直覺(jué)去探尋那些看起來(lái)有趣的事物?！筂argulis 也表示能夠獲得數(shù)學(xué)界知名度如此高的獎(jiǎng)項(xiàng)，自己感到無(wú)比榮幸。

Furstenberg 收到獲獎(jiǎng)信息時(shí)的場(chǎng)景。

隨機(jī)性，數(shù)學(xué)的瑰寶

兩位數(shù)學(xué)先驅(qū)都使用了遍歷理論（Ergodic theory）中的技術(shù)，該理論屬于動(dòng)力系統(tǒng)這一數(shù)學(xué)分支，其最開(kāi)始起源于物理問(wèn)題的相關(guān)研究，例如行星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。遍歷理論研究隨時(shí)間演變的系統(tǒng)，最終探索幾乎所有可能的狀態(tài)。這些系統(tǒng)通常是混沌的，這意味著只能使用概率來(lái)預(yù)測(cè)其未來(lái)行為。

但是隨機(jī)性應(yīng)用到其它數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)會(huì)產(chǎn)生很好地效果，加州大學(xué)洛杉磯分校的數(shù)學(xué)家陶哲軒解釋道：「如果你希望理解一個(gè)很大的空間，一種好方法就是隨機(jī)探索它?！?/p>

我們可能會(huì)想到機(jī)器學(xué)習(xí)中的最優(yōu)化問(wèn)題，模型的所有參數(shù)都是隨機(jī)初始化的，整個(gè)參數(shù)空間極其巨大。而我們采用的隨機(jī)梯度下降，本質(zhì)上在每一次迭代中，它只采用很少的數(shù)據(jù)去決定探索的方向，它對(duì)梯度的估計(jì)，是存在很大的隨機(jī)性的。但正是這樣帶有強(qiáng)烈「隨機(jī)性」的方法，最后卻能找到一個(gè)足夠好的解。

在上個(gè)世紀(jì)中期的數(shù)學(xué)體系中，很多數(shù)學(xué)家并不認(rèn)為概率論是非常重要的一部分，比它更為基礎(chǔ)的還有數(shù)論、代數(shù)和微分幾何等領(lǐng)域。當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家認(rèn)為概率論只是「應(yīng)用數(shù)學(xué)」，但 Furstenberg 與 Margulis 找到了一類(lèi)新方法以展示隨機(jī)性、概率方法如何解決抽象問(wèn)題。

「隨機(jī)性」并不只包含隨機(jī)，其內(nèi)部還有一些我們尚未發(fā)掘的有趣結(jié)構(gòu)。

在早年間的開(kāi)創(chuàng)性論文中，F(xiàn)urstenberg 就借助遍歷理論的思想表明，即使隨機(jī)性最大的無(wú)窮整數(shù)集合，其內(nèi)部也會(huì)包含一些規(guī)則結(jié)構(gòu)。他說(shuō)：「即使整個(gè)系統(tǒng)是混沌的，其內(nèi)部也會(huì)隱藏一些結(jié)構(gòu)。這就像夜空的星星，它們看上去是完全隨機(jī)的，但古希臘人卻能總結(jié)出一些星座?！?/p>

Furstenberg 的思想影響到了各個(gè)領(lǐng)域，它們似乎離遍歷理論比較遠(yuǎn)，包括幾何學(xué)與代數(shù)?；谒墓ぷ?，陶哲軒與牛津大學(xué)數(shù)學(xué)家 Ben Green 于 2004 年宣布在數(shù)論上取得重大突破，他們?cè)诳此仆耆S機(jī)排列的素?cái)?shù)中發(fā)現(xiàn)了驚人的模式。

Furstenberg 與 Margulis 利用隨機(jī)游走（random walk）來(lái)研究線性群的結(jié)構(gòu)，并揭示這些數(shù)學(xué)對(duì)象的秘密?？梢哉f(shuō)，隨機(jī)是非常優(yōu)異的一種探索工具。

那么什么是隨機(jī)游走過(guò)程？要知道在機(jī)器學(xué)習(xí)中，隨機(jī)游走也應(yīng)用在圖模型、貝葉斯網(wǎng)絡(luò)或時(shí)序建模當(dāng)中，它為模型引入的隨機(jī)性也有非常好的屬性。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，隨機(jī)游走即以不同的概率選擇下一步的方向。例如一維隨機(jī)游走，每次都會(huì)以某個(gè)概率選擇負(fù)方向走一步，或者以另一個(gè)概率向正方向走一步。我們可以把隨機(jī)游走看作是布朗運(yùn)動(dòng)，只不過(guò)它是布朗運(yùn)動(dòng)的理想數(shù)學(xué)狀態(tài)。

實(shí)至名歸的阿貝爾 2020

早年間，F(xiàn)urstenberg 和 Margulis 都因其猶太背景而備受歧視。Furstenberg 生于 1935 年的柏林，在他四歲的時(shí)候整個(gè)家庭就因?yàn)樘颖芗{粹的迫害而定居紐約。在普林斯頓大學(xué)獲得博士學(xué)位后，F(xiàn)urstenberg 留校擔(dān)任了一年的講師，然后在明尼蘇達(dá)大學(xué)獲得教職。后來(lái) Furstenberg 移居到以色列，并于 1965 年到 2003 年間在耶路撒冷的希伯來(lái)大學(xué)任教。

Margulis 出生在 1946 年的莫斯科，他 16 歲時(shí)因贏得國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽銀牌而受到關(guān)注，并在莫斯科國(guó)立大學(xué)獲得博士學(xué)位。Margulis 32 歲時(shí)就獲得了菲爾茲獎(jiǎng)，但他不被允許離開(kāi)蘇聯(lián)參加頒獎(jiǎng)典禮。后來(lái) Margulis 移民到美國(guó)，并且目前仍然在耶魯大學(xué)任教。

左為 Hillel Furstenberg，右為 Gregory Margulis。

Margulis 在年輕的時(shí)候就取得了他最大的成就，甚至在蘇聯(lián)之外的科研人員有機(jī)會(huì)與他接觸之前，它的名聲就已經(jīng)傳播開(kāi)了。Margulis 憑借他在對(duì)稱(chēng)性理論方面的工作，于 32 歲獲得了菲爾茲獎(jiǎng)，該領(lǐng)域涉及幾何學(xué)的連續(xù)變換，例如平面的剛體運(yùn)動(dòng)或者球面的旋轉(zhuǎn)。

在菲爾茲獎(jiǎng)?lì)C獎(jiǎng)典禮上，有數(shù)學(xué)家這樣介紹 Margulis：「曾經(jīng)有好幾次，Margulis 解決那些在當(dāng)時(shí)看似完全無(wú)法企及的問(wèn)題?！古餐茖W(xué)與文學(xué)院表示，他的研究成果至少為 Lindenstrauss、Mirzakhani 和 Venkatesh 這三位菲爾茲獎(jiǎng)獲得者奠定了基礎(chǔ)。

這兩位教授對(duì)數(shù)學(xué)研究做成了很多貢獻(xiàn)，F(xiàn)urstenberg 使用遍歷理論中的方法證明了 2012 年阿貝爾獎(jiǎng)獲得者的著名結(jié)論，成為 Ben Green 和陶哲軒證明素?cái)?shù)序列包括任意大的算術(shù)級(jí)數(shù)等眾多研究成果的依據(jù)。Margulis 在 1984 年采用遍歷理論中的方法證明了奧本海默猜想，整個(gè)運(yùn)用遍歷理論的想法創(chuàng)造了一個(gè)新的領(lǐng)域。

Furstenberg 與 Margulis 的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)囊括了很多基于遍歷理論、遞歸、李群和隨機(jī)游走所提出的概念，他們確實(shí)實(shí)至名歸。

盡管阿貝爾獎(jiǎng)已經(jīng)公布了，但頒獎(jiǎng)儀式一般在當(dāng)年 6 月份。不過(guò)因?yàn)榻衲甑囊咔榈膫鞑ィC獎(jiǎng)儀式將移到下一年，與 2021 年的阿貝爾獎(jiǎng)一同舉行。

數(shù)學(xué)界三大獎(jiǎng)項(xiàng)

阿貝爾獎(jiǎng)、菲爾茲獎(jiǎng)和沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的三大獎(jiǎng)項(xiàng)，每個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)都是對(duì)這一領(lǐng)域科學(xué)成就的極大肯定和鼓勵(lì)。

阿貝爾獎(jiǎng)

先來(lái)說(shuō)一下今天的主角阿貝爾獎(jiǎng)。2001 年，挪威政府為紀(jì)念 2002 年阿貝爾二百周年誕辰，宣布開(kāi)始頒發(fā)阿貝爾獎(jiǎng)，啟動(dòng)資金為 2 億挪威克朗。

尼爾斯·亨利克·阿貝爾是挪威著名數(shù)學(xué)家，1802 年 8 月出生于挪威一個(gè)農(nóng)村，1829 年 4 月逝世，去世時(shí)年僅 27 歲。但其短暫的一生為數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出了很多開(kāi)創(chuàng)性的工作。在大學(xué)課程中，我們總能聽(tīng)到其名字，例如阿貝爾函數(shù)、阿貝爾積分、阿貝爾群等。但是阿貝爾是個(gè)「隱沒(méi)的天才」，雖然成就極高，卻在生前沒(méi)有得到認(rèn)可。直到阿貝爾去世前不久，數(shù)學(xué)領(lǐng)域才認(rèn)識(shí)到他的價(jià)值。

尼爾斯·亨利克·阿貝爾

阿貝爾獎(jiǎng)委員會(huì)由挪威自然科學(xué)與文學(xué)院的五名數(shù)學(xué)家院士組成。2003 年，委員會(huì)宣布第一位獲獎(jiǎng)人：法國(guó)數(shù)學(xué)家讓-皮埃爾·塞爾?，F(xiàn)在，阿貝爾獎(jiǎng)已經(jīng)成為了數(shù)學(xué)界最高榮譽(yù)之一，每年獎(jiǎng)勵(lì)對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域有極大影響的貢獻(xiàn)者，獎(jiǎng)金為 750 萬(wàn)挪威克朗（約合約合 446 萬(wàn)元人民幣）。

在 2019 年之前，阿貝爾獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)?wù)呔鶠槟行?，但在去年，該?jiǎng)項(xiàng)第一次頒給了女性數(shù)學(xué)家 (https://mp.weixin.qq.com/s/vmQTLUxNZ01DloJF4ppXhg)。獲獎(jiǎng)?wù)呤瞧樟炙诡D大學(xué)任高級(jí)研究訪問(wèn)學(xué)者凱倫·凱斯庫(kù)拉·烏倫貝克（Karen Keskulla Uhlenbeck），獲獎(jiǎng)理由是她「在幾何偏微分方程、規(guī)范理論和可積系統(tǒng)方面的開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)，以及她的研究對(duì)分析、幾何和數(shù)學(xué)物理的重大影響?！?/p>

菲爾茲獎(jiǎng)

菲爾茲獎(jiǎng)（Fields Medal）是據(jù)加拿大數(shù)學(xué)家約翰·查爾斯·菲爾茲（John Charles Fields）要求設(shè)立的國(guó)際性數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)，于 1936 年首次頒發(fā)。

約翰·查爾斯·菲爾茲（1863~1932）生于加拿大渥太華，是一位著名的數(shù)學(xué)家。1906 年，他證明了黎曼一羅赫定理。此外，他還是一位出色的數(shù)學(xué)事業(yè)的組織、管理者，是在加拿大推進(jìn)研究生教育的第一人。

約翰·查爾斯·菲爾茲

菲爾茲獎(jiǎng)每四年頒獎(jiǎng)一次，在由國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì)主辦的四年一度的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上舉行頒獎(jiǎng)儀式，每次頒給二至四名有卓越貢獻(xiàn)的年輕數(shù)學(xué)家。獲獎(jiǎng)?wù)弑仨氃谠撃暝┣拔礉M(mǎn)四十歲，每人將獲得 1.5 萬(wàn)加元（約合 7.2 萬(wàn)元人民幣）獎(jiǎng)金和金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)乱幻丁?/p>

截止 2018 年，世界上共有 60 位數(shù)學(xué)家獲得過(guò)菲爾茲獎(jiǎng)，其中 2 位為華裔數(shù)學(xué)家，分別是 1982 年獲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家丘成桐和 2006 年獲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家陶哲軒。

與其他獎(jiǎng)項(xiàng)不同的是，菲爾茲獎(jiǎng)有著嚴(yán)格的年齡限制，設(shè)立這一標(biāo)準(zhǔn)主要是為了激勵(lì)獲獎(jiǎng)?wù)呷〉眠M(jìn)一步的成就，將獲得此獎(jiǎng)作為一個(gè)起見(jiàn)而非終點(diǎn)。但這也導(dǎo)致年紀(jì)較大的數(shù)學(xué)家無(wú)緣此獎(jiǎng)項(xiàng)。

沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)

沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)（Wolf Prize in Mathematics）是沃爾夫獎(jiǎng)的一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)。1976 年 1 月，R. 沃爾夫及其家族捐獻(xiàn)一千萬(wàn)美元成立了沃爾夫基金會(huì)，其宗旨是為了促進(jìn)全世界科學(xué)·藝術(shù)的發(fā)展。沃爾夫基金會(huì)設(shè)有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)和農(nóng)學(xué)五個(gè)獎(jiǎng)，1981 年又增設(shè)藝術(shù)獎(jiǎng)。

1978 年，沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)開(kāi)始頒發(fā)，通常每年頒發(fā)一次，每個(gè)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為 10 萬(wàn)美元，可以由幾人分得。獲得該獎(jiǎng)項(xiàng)的華人包括陳省身和丘成桐兩位數(shù)學(xué)家。

包攬三大獎(jiǎng)項(xiàng)的數(shù)學(xué)家們

在今年的阿貝爾獎(jiǎng)公布之后，Gregory Margulis 成為又一位集齊三大獎(jiǎng)項(xiàng)的數(shù)學(xué)家。在他之前，還有四位數(shù)學(xué)家也包攬過(guò)這三大獎(jiǎng)項(xiàng)。他們分別是：

讓?皮埃爾?塞爾（1926—）：法國(guó)數(shù)學(xué)家，主要貢獻(xiàn)的領(lǐng)域是拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何與數(shù)論。1954 年獲得菲爾茲獎(jiǎng)，當(dāng)時(shí)年僅 28 歲，他是至今最年輕的獲獎(jiǎng)?wù)?，也是阿貝爾?jiǎng)的首個(gè)得主。

皮埃爾?德利涅（1944－）：比利時(shí)數(shù)學(xué)家，最重要的貢獻(xiàn)之一是 20 世紀(jì) 70 年代關(guān)于韋伊猜想的工作。除了三大數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)之外，他還榮獲過(guò)克拉福德獎(jiǎng)。

約翰?米爾諾（1931—）：美國(guó)數(shù)學(xué)家，主要貢獻(xiàn)在于微分拓?fù)?、K-理論和動(dòng)力系統(tǒng)及其著作。

約翰·格里格斯·湯普森（1932—）：美國(guó)數(shù)學(xué)家，最有名的工作是有限群研究，證明了著名的法伊特－湯普森定理。

在 Gregory Margulis 之前包攬三大數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)的數(shù)學(xué)家。從左至右：讓?皮埃爾?塞爾、皮埃爾?德利涅、約翰?米爾諾、約翰·格里格斯·湯普森。

數(shù)學(xué)是人類(lèi)科學(xué)最底層的支柱之一，正是 Furstenberg 與 Margulis 這樣一代代數(shù)學(xué)家靠紙與筆演算出來(lái)的邏輯，才構(gòu)建了眾多學(xué)科前進(jìn)的依據(jù)。阿貝爾獎(jiǎng)、菲爾茲獎(jiǎng)、沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)只是數(shù)學(xué)進(jìn)程上的剪影，我們還會(huì)繼續(xù)創(chuàng)新這個(gè)自然科學(xué)最美麗的語(yǔ)言——數(shù)學(xué)。

參考鏈接：http://blog.sina.com.cn/s/blog_48f464180102v5lu.html

https://www.nature.com/articles/d41586-020-00799-7

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原標(biāo)題：《2020年阿貝爾獎(jiǎng)公布，又一位數(shù)學(xué)「三大獎(jiǎng)」大滿(mǎn)貫得主誕生》

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