上一期說到，量子信息中用到的量子力學原理主要有三個，疊加、測量和糾纏。上次我們介紹了第一個奧義，量子疊加。這次我們來介紹第二個奧義，量子測量。

我們可以用一句話說明量子力學中的測量令人震撼的程度：它推翻了經典力學的世界觀。

量子力學測量：世界上存在真正的隨機性

在量子力學出現(xiàn)后，人們發(fā)現(xiàn)，有些物理體系的一些性質在測量之前并沒有確定的值，測得的值是在測量一瞬間隨機產生出來的。

比如說某種球，測量它的顏色只有黑白兩種結果，那么在經典力學中，測量之前它就必然處于黑色或白色這兩種之一。但在量子力學中，這個球在測量之前卻可能既不是黑色也不是白色，只是在測量的一瞬間，這個球隨機地變成了黑色或白色。

·實驗上的例子：偏振光

偏振光，即電場只在某個特定方向振動的光。假如我們制備了一束水平方向（即0度方向）的偏振光，讓它去通過一個45度方向的偏振片，結果會怎么樣呢？

實驗結果是，有一半強度的光通過，而且過去的光就變成了45度方向的偏振，不再是0度方向了。45度方向的偏振片對0度方向的光子是中等程度的阻礙，介于0度的沒有阻礙和90度的最大阻礙之間。但請再仔細想想，所謂“光的強度降低一半”是對大量光子集體的描述，如果我們只關注一個光子呢?

這時最好的描述就是：它有一半的概率通過，一半的概率通不過。這里令人震驚的地方在于，同樣的光子有可能過去，也可能過不去，同一個原因可能產生不同的結果。

概率性的描述意味著，假如我們把同樣的實驗重復很多次，例如讓10000個光子依次去過偏振片，那么我們可以預測，會有5000次左右通過，5000次左右通不過。但如果實驗只做一次，我們來問物理學家，當前這個光子究竟能不能通過？物理學家就會跟你說，我們沒有任何辦法預測。我們唯一可說的是，它有一半的概率過去，一半的概率過不去。

所以我們可以把量子力學中的測量總結為：世界上存在真正的隨機性，或者說本質的隨機性、內秉的隨機性。事實上，量子測量正是我們目前唯一已知的產生真隨機數(shù)的方法。量子隨機數(shù)發(fā)生器已經有了很多應用，如果彩票用上量子隨機數(shù)發(fā)生器，就不可能作弊了。

量子測量中的Q&A

·偽隨機vs.真隨機

有人可能會問，經典世界不也有很多隨機性嗎？例如我們擲一個硬幣，正面朝上還是反面朝上不是隨機的嗎？

仔細想想你就會發(fā)現(xiàn)，經典力學中的隨機都是偽隨機，不是真隨機。例如擲硬幣的結果，取決于出手的力度、方位和氣流的影響等，而這些因素都是可以控制的。比如說用機器來擲，就可以把出手的力度和方位控制得很準。在真空中擲，就可以消除氣流的影響。當把這些都做到位時，可以得到想要的結果。但量子力學中的測量就沒有任何辦法消除隨機性。

·隱變量是否能消除

有人可能會說，量子力學之所以看起來隨機，是因為還有一些變量我們沒有觀察到，而那些變量控制了測量的結果。這種想法叫作隱變量(hidden variable)，是一種很容易想到的消除隨機性、拯救決定論(determinism)的辦法。對經典力學中擲硬幣的例子來說，出手的力度、方位和氣流等就相當于它的隱變量。

然而在量子力學中，隱變量理論至少到目前為止還沒有取得成功。不是說不能構造這樣的隱變量理論——其實當然是可以的，這樣的研究已經進行了近百年——而是說這樣的隱變量理論或者跟實驗矛盾（所以它是錯誤的），或者不能給出控制隱變量的方法（所以它是沒用的）。這是一個非常深奧的話題，我們后面再來詳細解釋。目前需要強調的只是，量子力學中的隨機性是無法以簡單形式消除的，我們需要尊重這個自然規(guī)律。

以狄拉克符號和基組描述量子測量

如果你還想比較精確地描述量子力學中的測量，那么就需要用到我們在上一期中講的狄拉克符號（Diracnotation）和基組（basis set）這兩個概念?；仡櫼幌拢依朔柺且粋€尖括號|〉，我們可以在其中填入任意的數(shù)字、字母甚至一句話，來表示某個量子狀態(tài)。我們往往用|0〉和|1〉來表示兩個基本狀態(tài)，比如說0度和90度的兩個偏振態(tài)。這兩個基本狀態(tài)構成一個基組，意思是通過它們的線性疊加可以構造出體系能夠取到的其他任意狀態(tài)，即a|0〉+b|1〉，這里的a和b是兩個數(shù)。

用這種符號，就可以方便地描述量子力學中測量的效果：在|0〉和|1〉的基組中對a|0〉+b|1〉做測量，那么結果必然會得到|0〉或|1〉中的某一個，具體而言是以|a|2的概率得到|0〉，以|b|2的概率得到|1〉。上一期中我們說過，對a和b這兩個數(shù)唯一的限制就是它們的絕對值平方和等于1，現(xiàn)在我們可以明白為什么：因為測量的結果只有這兩種可能，它們的概率加起來必然等于100%。

可以量子測量比喻為“削足適履”，因為它的效果就是強迫待測狀態(tài)落到某一個基本狀態(tài)上去。落到哪一個基本狀態(tài)是隨機的，而只能落到這些基本狀態(tài)其中之一是確定的。當然，如果初始狀態(tài)就是某一個基本狀態(tài)，那么測量結果就是完全確定的，即100%仍然在這個狀態(tài)。不過這是特殊情況，大多數(shù)時候是發(fā)生變化。

電子云：原子中的電子處于位置的疊加態(tài)

位置是可以疊加的，原子中電子的狀態(tài)一般而言就處于位置的疊加態(tài)，因此我們無法事先預測它出現(xiàn)在哪里，只能預測它出現(xiàn)在各個位置的概率。根據(jù)這個概率分布，可以畫出所謂電子云的圖像。

我們在高中時可能就聽說過電子云這個詞，最初接觸的時候可能會覺得就是電子運動得太快了看不清它在哪兒，但現(xiàn)在大家可以明白了，不是因為跑得太快看不清，而是因為電子的位置在本質上就是不確定的，在測量的一瞬間才會落到某個確定的位置。

描述量子系統(tǒng)在沒有測量時的（演化的）理論

量子力學中測量的神奇之處，就是它居然需要一個單獨的測量理論。在經典力學中，測量雖然也是個重要的操作，但它并不需要什么特別的理論，因為測量過程跟其他過程遵循相同的物理規(guī)律。但在量子力學中測量必須有一個單獨的理論來描述它，測量和不測量時遵循的是不同的物理規(guī)律。

那么描述量子系統(tǒng)在沒有測量時的（演化的）理論是什么？答案是薛定諤方程，它是一個微分方程，描述量子體系的狀態(tài)隨時間的演化。在這個方程中，量子體系的狀態(tài)用一種函數(shù)來表示，叫作波函數(shù)（wave function）。

薛定諤方程非常重要，實際上我的專業(yè)“理論與計算化學”（theoretical and computational chemistry）中一大半的內容就是尋找解薛定諤方程的算法，包括精確算法和近似算法，因為原則上，解出薛定諤方程就能知道原子分子體系所有的可觀測性質。然而對于我們目前討論的問題，只需要記住一點，就是薛定諤方程是個確定性的方程，即給定某個初始時刻的狀態(tài)，就會確定此后任意時刻的狀態(tài)。在這個層面上，薛定諤方程跟牛頓力學方程沒有區(qū)別，兩者都是決定論的。

但在做測量的時候，薛定諤方程的確定性演化就會被打斷。這時我們就要首先挑選一個基組，然后測量的效果就是強迫待測體系的狀態(tài)落到這個基組的某一個基本狀態(tài)上。這是一個真正意義的突變，是瞬間變化，不需要時間，所以經常被稱為波函數(shù)塌縮、坍縮（collapse）或諸如此類的詞。

總而言之，量子力學對世界的描述是一種奇妙的混合，它是確定性與概率性的混合，也是連續(xù)變化與突變的混合。在沒有測量時它是確定性的、連續(xù)變化的，在測量時它是概率性的、突變的。這樣一種圖景確實不是任何人事先能想到的，直到現(xiàn)在也經常令人困惑。因此很多物理學家說過類似這樣的話：“任何人如果沒有被量子力學震驚，就沒有理解它。”

本文摘編自雜志2025年第10期，文章內容略有刪改。

實習編輯 | 范周桐