上一期我們講了量子精密測量，這是因?yàn)橐斫馑鄬Ρ容^容易。但如果我們想要理解量子通信和量子計(jì)算，就需要對量子力學(xué)原理有相當(dāng)程度的了解，否則就很難看懂這兩個(gè)領(lǐng)域研究的是什么。

那么，量子力學(xué)有多少原理呢？在量子信息中，用得最多的原理主要有三個(gè)：量子疊加、量子測量和量子糾纏。下面，我們來介紹這三大奧義中的第一個(gè)：量子疊加（quantum superposition）。

量子比特是什么？

量子疊加是一個(gè)科普的重災(zāi)區(qū)，許多人以訛傳訛，會(huì)出現(xiàn)這樣的表述：量子計(jì)算機(jī)中的量子比特可以同時(shí)處于0狀態(tài)和1狀態(tài)，這使得它的能力遠(yuǎn)超經(jīng)典計(jì)算機(jī)……實(shí)際上正確的說法應(yīng)是：量子比特不僅能處于0狀態(tài)和1狀態(tài)，還能處于0和1的任意疊加態(tài)。

對信息科學(xué)有了解的人，肯定都聽說過，信息科學(xué)的基本操作單元是比特（bit），即二進(jìn)制數(shù)位（binary digit）。如果一個(gè)體系有且只有兩個(gè)狀態(tài)，那么它就可以用來表示比特。例如一個(gè)開關(guān)，只有開和關(guān)兩個(gè)狀態(tài)，又如擲硬幣，只有正面朝上和反面朝上兩個(gè)狀態(tài)。

然而在量子信息中，基本操作單元不是比特，而是量子比特。它跟比特的區(qū)別是什么呢？如果說比特好比一個(gè)開關(guān)，那么量子比特就好比一個(gè)旋鈕！旋鈕的特點(diǎn)是，它是連續(xù)可調(diào)的，它不是只有一個(gè)狀態(tài)，而是有無窮多個(gè)狀態(tài)。

量子比特疊加的奧義

相較于其他有無窮多個(gè)狀態(tài)的體系，量子比特能夠?qū)崿F(xiàn)神奇效果的奧義在于疊加。

具體而言，一個(gè)量子比特的無窮多個(gè)狀態(tài)都可以用兩個(gè)基本狀態(tài)的“線性疊加”表示出來。事實(shí)上，量子力學(xué)中有一個(gè)“疊加原理”，它說的是：如果一個(gè)體系可以取到兩個(gè)狀態(tài)，那么這兩個(gè)狀態(tài)的任意線性疊加也是這個(gè)體系可以取到的狀態(tài)。

什么是線性疊加？

簡而言之就是兩個(gè)矢量各自乘以一個(gè)常數(shù)，然后加起來。

比如取一個(gè)0度方向的單位矢量i和一個(gè)90度方向的單位矢量j，單位矢量的長度為1。把它們直接相加得到i＋j，即i和j的系數(shù)都是1，這就是一個(gè)45度方向的矢量，長度為√2。

把0度方向的單位矢量減去90度方向的矢量，就得到i－j，即i和j的系數(shù)分別為1和-1。它是一個(gè)-45度方向的矢量，長度也是√2。

如果我們要得到正負(fù)45度方向的單位矢量，就需要在前面兩個(gè)矢量的基礎(chǔ)上除以√2，即分別是 i＋j√2 和i-j√2。如果要得到任意角度的矢量，只要調(diào)節(jié)i和j的系數(shù)即可。

因此，i和j構(gòu)成一個(gè)“基組”（basis set）。通過這個(gè)基組中兩個(gè)矢量的線性疊加，可以得到其他任意方向的矢量。這就是線性疊加的重要之處。

·在量子力學(xué)中，一個(gè)體系的狀態(tài)可以用一個(gè)矢量來表示。

·在量子力學(xué)中，表示體系狀態(tài)的矢量長度必須等于1。

狄拉克符號

有一種符號可以很方便地表示量子態(tài)，叫作狄拉克符號（Dirac notation），它是由英國物理學(xué)家、1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者保羅·狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902～1984）提出的。狄拉克符號就是一個(gè)尖括號|>，你可以在里面填上任意的數(shù)字、字母甚至一句話，用來表示某種狀態(tài)。

用狄拉克符號來表述，疊加原理說的就是，如果一個(gè)量子體系可以處于|0>和|1>兩個(gè)狀態(tài)，那么它就可以處于任意的a|0>＋b|1>狀態(tài)，其中a和b是兩個(gè)數(shù)，a|0>＋b|1>就是|0>和|1>的一個(gè)疊加態(tài)。用矢量的語言說就是，如果一個(gè)量子體系可以處于0度和90度兩個(gè)狀態(tài)，那么它就可以處于任意角度的狀態(tài)。

對a和b這兩個(gè)數(shù)唯一的限制是，它們的絕對值平方和要等于1，即|a|2＋|b|2＝1。此處對應(yīng)第二部分所說：量子力學(xué)中表示狀態(tài)的矢量的長度必須為1。

對量子比特的一個(gè)形象表示是布洛赫球（Bloch sphere），它的南極表示|1>態(tài)，北極表示|0>態(tài)。經(jīng)典比特只能取這2個(gè)態(tài)，而量子比特可以取球面上的任意一點(diǎn)，即a|0> +b|1>，這里的a和b是2個(gè)復(fù)數(shù)，這正是為什么要用球（而不是平面的圓）來表示量子比特。正文中沒有強(qiáng)調(diào)a和b是復(fù)數(shù)，是因?yàn)閺?fù)數(shù)對許多讀者會(huì)造成額外的困難，只要理解疊加態(tài)有無窮多個(gè)，就已經(jīng)足以把握疊加態(tài)的大部分特征。

量子疊加的例子

一種常見的可以表示量子比特的物理體系是偏振光。

光的本質(zhì)是電磁波，電場和磁場是在振動(dòng)的，它們振動(dòng)的方向與光的傳播方向垂直（也就是說，光波是橫波）。如果電場振動(dòng)的方向均位于某個(gè)平面內(nèi)，則說明這束光是偏振的。大部分時(shí)候，我們見到的光沒有偏振，即電場在所有方向上是平均分布的。但我們也有辦法來制備偏振，例如讓無偏振的光去通過一個(gè)偏振片，出來的光就只剩下跟偏振片相同方向的偏振。有一種3D眼鏡的原理，就是左右兩個(gè)鏡片分別是不同方向的偏振片，兩眼通過它們看到略微不同的圖像，由此產(chǎn)生立體感。

如果我們把水平方向偏振的光子稱為|0>態(tài)，把垂直方向偏振的光子稱為|1>態(tài)，那么很顯然，我們可以通過|0>態(tài)和|1>態(tài)的線性疊加，來得到任意其他偏振方向的狀態(tài)，例如正的45度、負(fù)的45度、30度、120度。顯然，這些狀態(tài)也都是可以制備出來的（把偏振片旋轉(zhuǎn)就行）。這就是一個(gè)疊加原理的例子。

其他驚人的例子

·位置的疊加

一個(gè)電子如果可以處于A地，也可以處于B地，那么它就可以處于A地和B地的疊加態(tài)。按照疊加原理，這是必然的。但按照經(jīng)典力學(xué)的思維，就無法理解了：兩個(gè)地點(diǎn)的疊加態(tài)是什么意思？這個(gè)電子到底在哪里？

·死活的疊加

即鼎鼎大名的薛定諤貓（Schr?dinger’s cat）。如果一只貓有活態(tài)和死態(tài)，那么它必然可以處于死活的疊加態(tài)。但我們從來沒有觀察到這樣一只不死不活的貓，所以這究竟是怎么回事？

薛定諤的貓：活著，而且死了？| 科學(xué)世界·特輯（2025年第12期）

即便有這么多驚人的例子，但在目前的實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)，疊加原理是完全正確的。它經(jīng)過了一百多年的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，目前還沒有發(fā)現(xiàn)反例。它已經(jīng)成為我們認(rèn)識世界的一個(gè)基礎(chǔ)，至少是認(rèn)識微觀世界的一個(gè)基礎(chǔ)。

有了以上的知識儲(chǔ)備，以后再聽見“量子比特可以同時(shí)處于0和1”這種說法，你就可以立刻指出：這完全是誤解！一個(gè)量子體系不是可以同時(shí)處于兩個(gè)狀態(tài)，而是可以處于這兩個(gè)狀態(tài)的任意疊加態(tài)。這個(gè)疊加態(tài)是一個(gè)有良好定義的（well defined）狀態(tài)，而不是某種玄學(xué)狀態(tài)。

本文摘編自《科學(xué)世界》雜志2025年第9期，文章內(nèi)容略有刪改。

作者 | 袁嵐峰