前面幾期，我們介紹了量子力學的三個重要應(yīng)用。

1.哲學層面  

原子為什么能穩(wěn)定存在（因為原子中電子可以取的能量是量子化的，即一個個能級，這些能級中有個最小值）。

2.實用層面  

為什么決定一束光能否從金屬中打出電子的是它的頻率，而不是強度（因為光是由一個個光子組成的，光子的能量正比于頻率）。

3.大多數(shù)人很難想到  

世界上為什么會存在固體（因為電子服從泡利不相容原理，即兩個電子不能處于同樣的狀態(tài)）。

這次，我們再來介紹一個量子力學的重要應(yīng)用，它就是我們?nèi)粘Ｓ玫米疃嗟默F(xiàn)象之一：電。

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為什么有些物質(zhì)能導電？

大家都知道，有些物質(zhì)能導電，例如銅和鋁，也有些物質(zhì)不導電，例如木頭和塑料。但假如進一步問個為什么，為什么有些物質(zhì)是導體（conductor），有些物質(zhì)是絕緣體（insulator），你立刻就會發(fā)現(xiàn)這是個非常深奧的問題。讓我們回想一下，中小學教材是如何解釋導電性的？

自由電子理論

有些物質(zhì)能導電是因為其中的電子是自由的，而另一些物質(zhì)不導電是因為其中的電子不是自由的。

聽起來好像很有道理，但請仔細想想，這真的解釋了任何事情嗎？其實并沒有，它只是循環(huán)論證而已，因為它沒有預(yù)測能力。

如果追根究底地問：為什么銅和鋁中的電子就是自由的，木頭和塑料中的電子就是不自由的？你會發(fā)現(xiàn)這個自由電子理論完全講不出道理，而只是把導體中的電子稱為自由的，把絕緣體中的電子稱為不自由的。

如果更進一步，給一個新材料，讓它預(yù)測這種材料導電還是不導電，這個理論就更是抓瞎了。由此可見，這個理論其實只是一種同義反復(fù)（tautology），或者音譯兼意譯為“套套邏輯”！

那我們現(xiàn)在能不能預(yù)測導電性呢？有了量子力學以后，確實可以預(yù)測了。

1928年，瑞士科學家布洛赫和他的博士導師海森伯發(fā)展出了一套理論，可以明確地解釋和預(yù)測哪些物質(zhì)會導電，哪些物質(zhì)不導電。這叫作“能帶理論”（energy band theory），大家如果在大學學固體物理，就會學到這個理論。

布洛赫  Felix Bloch  1905～1983

海森伯  Werner Karl Heisenberg  1901～1976

能帶理論

前幾期文章里說過，原子中電子的能量是量子化的，即一個個能級。當N個原子聚集成固體時，由于原子間的相互作用，單原子的一個能級會變成固體的N個能級。這N個能級的能量不再相等，即會從一個值變成一個能量區(qū)間，比如說從-7eV這一個值變成從-8eV到-6eV這個區(qū)間（eV是能量單位“電子伏特”，即電子通過1伏特的電勢差所獲得的能量，約等于1.6×10-19焦耳）。當N很大時，這N個能級會是準連續(xù)的，即相互之間間隔非常小，比如說從-8eV到-6eV這個區(qū)間內(nèi)每隔0.00001 eV有一個能級。這就好比一條帶子，所以這樣的一組N個能級稱為一個能帶（energy band）。

決定導電性的關(guān)鍵

有了能帶結(jié)構(gòu)以后，我們把電子往里填。別忘了，電子遵循泡利不相容原理，即一個能級上只能填一個電子（或者說兩個，電子有一種屬性叫作自旋，它有上下兩個取值，所以我們常說一個能級可以填充自旋相反的兩個電子）。因此，我們需要把電子按照能級從低到高的順序往里填。那么把最后一個電子填進去以后，就有兩種可能。

1. 當前的能帶沒有填滿

比如說當前的能帶是從-8eV到-6eV，而最后一個電子填在了-7eV的地方。那么它只需要極小的能量，就可以跳到上一個能級，比如說-6.99999eV。這意味著這個電子可以在整個固體中自由移動，所以這種物質(zhì)就是導體。

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2.當前的能帶填滿了，而上面的能帶跟當前的能帶之間有個顯著的距離。

比如說當前的能帶是從-8eV到-6eV，最后一個電子剛好填在了最高的-6eV，而上一個能帶是從-5eV到-3eV。于是這個電子至少要獲得1eV的能量，才能跳到上一個能級。這個難度就大得多了，絕大部分時候是跳不上去的，所以這種物質(zhì)就成了絕緣體。

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大家明白了嗎？一種物質(zhì)是導體還是絕緣體，是由它的能帶結(jié)構(gòu)決定的。而這個能帶結(jié)構(gòu)，原則上是可以根據(jù)量子力學計算出來的。即使精確計算有些難度，很多時候近似計算也足以確定它的定性結(jié)構(gòu)。因此，能帶理論提出以后，立刻就解釋了當時的絕大多數(shù)導電現(xiàn)象?，F(xiàn)在經(jīng)過近百年的發(fā)展，我們的量子力學計算能力大為提高，所以處理這種問題就更是小菜一碟了。

能帶理論不僅能解釋導體和絕緣體，它還能告訴我們世界上存在另一種材料：半導體（semiconductor）。例如硅和鍺就是半導體。半導體的特點是，它可以在導電和不導電之間切換，通過摻雜、加電壓等方式就可以控制這種切換。整個芯片工業(yè)就是建立在半導體的基礎(chǔ)上，所有的芯片工程師都學過量子力學，都知道能帶理論。所以但凡你在用手機或計算機的時候，你就用到了能帶理論。

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如何理解超導現(xiàn)象？

更奇妙的是，除了導體、絕緣體和半導體之外，還有另一種材料：超導體（superconductor），即電阻為0的物質(zhì)。例如把水銀（即汞）冷卻到4.2K即零下268.95攝氏度，它的電阻就會突然變成0，成了超導體。超導是一種宏觀量子現(xiàn)象，用經(jīng)典物理是完全無法理解的，只有用量子力學才能解釋。更神奇的是，即使用量子力學，目前也還沒有完全理解超導現(xiàn)象。

具體而言，對所謂“常規(guī)超導”我們已經(jīng)有了一個很好的理論，叫作BCS理論。BCS是三位科學家巴?。↗ohn Bardeen，1908～1991）、庫珀（Leon Neil Cooper，1930～2024）和施里弗（John Robert Schrieffer，1931～2019）的姓氏首字母縮寫，他們因為提出這個理論獲得了1972年諾貝爾物理學獎。

然而，1986年又發(fā)現(xiàn)了所謂“高溫超導”，對這個現(xiàn)象的解釋，到目前為止都還沒有找到。雖然經(jīng)過近四十年的努力，許多理論家提出了五花八門的高溫超導機理，但還沒有一個能獲得公認?，F(xiàn)在已知的高溫超導材料有三種，分別是銅基超導、鐵基超導和鎳基超導。

一個要點是，所謂高溫超導并沒有高到哪里去。學術(shù)界的一般標準是：能在常壓下超過40K即零下233攝氏度的，就叫作高溫超導。另一個要點是，到目前為止還沒有實現(xiàn)室溫超導，即25攝氏度左右的超導。因此在超導領(lǐng)域中，“室溫”比“高溫”要高！這是所有科學領(lǐng)域中最神奇的“黑話”之一。如果你知道這一點，你對超導的了解就超過了90%的人。

我想你已經(jīng)明白了，一件在學術(shù)界是常識、但在公眾中不是常識的事，就是導電性需要量子力學來解釋。對量子力學的重要性，我們可以這樣表述：每當你用電的時候，你就用到了量子力學。除此之外，量子力學還是很多現(xiàn)代技術(shù)的基礎(chǔ)，例如激光、核能、量子點、磁共振、發(fā)光二極管、電子顯微鏡等?，F(xiàn)在如果有人問你“量子力學有什么用”，你就可以回答他：沒有量子力學，世界就不會穩(wěn)定存在，更不會出現(xiàn)我們現(xiàn)在用的絕大多數(shù)技術(shù)。

本文摘編自雜志2025年第6期，文章內(nèi)容略有刪改。

新媒體編輯 | 周濛