作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)、工程技術(shù)的先導(dǎo)、國(guó)民經(jīng)濟(jì)的工具，“數(shù)學(xué)”曾經(jīng)被伽利略稱為“書寫宇宙的語言”，其所用的文字是三角形、圓和其他幾何圖形。

亞里士多德則認(rèn)為，數(shù)學(xué)能促進(jìn)人們對(duì)美的特性————數(shù)值、比例、秩序等的認(rèn)識(shí)。

德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺栔毖裕骸耙环N特別的美統(tǒng)治著數(shù)學(xué)王國(guó)，這種美與藝術(shù)美的相似性不如與自然美的相似性那么大，它反映了具有抽象能力的思想，它也會(huì)得到人們的欣賞，這一點(diǎn)很像自然中的美?！?/p>

古往今來，數(shù)學(xué)美一直是一個(gè)值得探討的話題。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性、抽象性、和諧性、奇異性等諸方面均展現(xiàn)著自身的美，數(shù)學(xué)也正是在不斷追求完美的過程中孕育、創(chuàng)造并發(fā)展的。

荷蘭畫家梵高的后期作品里，可以發(fā)現(xiàn)一些漩渦式的團(tuán)。據(jù)《泰晤士報(bào)》報(bào)道，墨西哥物理學(xué)家喬斯·阿拉貢經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，這些漩渦與科學(xué)家用來描述湍流現(xiàn)象的數(shù)學(xué)公式不謀而合。

吳振奎教授也一直在思考數(shù)學(xué)之美到底美在哪里，并留意“數(shù)學(xué)美”的文字與資料，最終撰成《美妙的數(shù)學(xué)》一書，該書以數(shù)學(xué)實(shí)例揭示數(shù)學(xué)潛在的規(guī)律，同時(shí)探索用美學(xué)原理指導(dǎo)數(shù)學(xué)創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的途徑，集中展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的趣、秘、異、美和它的古老、嚴(yán)謹(jǐn)、實(shí)用。

古老的數(shù)學(xué)，有說不完的故事，也有解不開的難題。今天就讓小北帶大家從圖片走進(jìn)不一樣的數(shù)學(xué)之美吧！

01

“黃金數(shù)”是幾何學(xué)中的瑰寶

巴特農(nóng)神廟，神廟的長(zhǎng)與高之比約為0.618

0.618被達(dá)·芬奇稱為“黃金數(shù)”，而“黃金分割”則被天文學(xué)家開普勒贊為幾何學(xué)中的“兩大瑰寶之一”（另一件瑰寶“勾股定理”）。

顧名思義，黃金數(shù)被賦予黃金一樣的熠熠光彩和不菲價(jià)值，受到了人們廣泛的歡迎。

事實(shí)上，黃金比值一直統(tǒng)治著古代中東地區(qū)和中世紀(jì)時(shí)期的西方建筑藝術(shù)，無論是古埃及的金字塔，還是古雅典的巴特農(nóng)神廟；無論是印度的泰姬陵，還是巴黎的埃菲爾鐵塔，這些世人矚目的建筑都是運(yùn)用黃金分割比例原理創(chuàng)作的偉大藝術(shù)品。

—些珍貴的名畫佳作、藝術(shù)珍品也處處體現(xiàn)了黃金分割——它們的主題大都在作品的黃金分割點(diǎn)處（對(duì)于繪畫、雕塑、建筑等藝術(shù)來講，主題中的0.618有時(shí)表現(xiàn)在橫向，有時(shí)表現(xiàn)在縱向。只要你肯仔細(xì)尋覓，便不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)事實(shí)）。

在米勒的名畫《拾穗者》中，人們發(fā)現(xiàn)其構(gòu)圖中運(yùn)用了黃金分割。

對(duì)于某些音樂、電影、文學(xué)作品，其中樂章、故事、情節(jié)的高潮往往在全曲、全劇、全書的0.618前后。

更有趣的是，人體中有著許多黃金分割的例子，比如：人的肚臍是人體全長(zhǎng)的黃金分割點(diǎn)，而膝蓋又是人體肚臍以下部分體長(zhǎng)的黃金分割點(diǎn)，甚至有人竟以此標(biāo)準(zhǔn)去衡量一個(gè)人的體形是否標(biāo)準(zhǔn)或健美。

達(dá)·芬奇在《維特魯威人》這幅畫中，把人體與幾何中最完美而又簡(jiǎn)單的圖形（圓和正方形）聯(lián)系到了一起，圖中還蘊(yùn)涵著黃金分割（比）。

達(dá)·芬奇《維特魯威人》，人的身高是按0.618畫的，其他部位也按特定比例標(biāo)準(zhǔn)繪制，比如雙手展開的寬度等于身高。

02

美和“對(duì)稱”緊密相連

“對(duì)稱”概念最初源于幾何，如今它的含義已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出幾何范疇。對(duì)稱也是一種和諧美，畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖所認(rèn)為的宇宙結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的基元——正多面體是對(duì)稱的；他們喜歡的圖案五角星也是對(duì)稱的；圓是最簡(jiǎn)單的封閉曲線，也是一種最完美的對(duì)稱圖形。

德國(guó)著名數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯說“美和對(duì)稱緊密相連”，從建筑物外形到日常生活用品，從動(dòng)植物外貌到生物有機(jī)體的構(gòu)造，從化合物的組成到分子晶體的排布……其中皆有對(duì)稱。

北京天壇的建筑呈現(xiàn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)

古希臘人十分留意各種“對(duì)稱”現(xiàn)象，以致他們竟創(chuàng)立一種學(xué)說，認(rèn)為世界一切的規(guī)律都是從對(duì)稱來的。他們覺得最對(duì)稱的東西是圓，所以他們把天文學(xué)中的天體運(yùn)動(dòng)軌道畫成圓的，后來圓上加圓，這一來就發(fā)展成為希臘后來的天文學(xué)。

開普勒研究天體運(yùn)行時(shí)，再一次用上對(duì)稱觀點(diǎn)。他同時(shí)發(fā)現(xiàn)，用圓上加圓對(duì)天體運(yùn)行規(guī)律解釋時(shí)并不可行，但是將圓換成橢圓就可以了——他是受到希臘人想要把一切東西視為極端對(duì)稱思想的影響。

倒影看上去是一種最生動(dòng)的對(duì)稱

“對(duì)稱”的概念是極為重要。20世紀(jì)的研究發(fā)現(xiàn)：對(duì)稱的重要性在與日俱增，這從某個(gè)方面也說明了希臘人想法的合理性。

比如在動(dòng)力學(xué)問題中，按照對(duì)稱觀點(diǎn)來考慮可以得到許多重要結(jié)論。例如一個(gè)氫原子中，一個(gè)電子圓形軌道是原子核作用在電子上的庫侖力的對(duì)稱結(jié)果和證據(jù)。這里“對(duì)稱”意味著在所有方向上力的大小都一樣。

在中國(guó)，對(duì)聯(lián)是一種國(guó)粹，雅稱“楹聯(lián)”，其文字簡(jiǎn)潔，意義深邃，對(duì)仗工整、平仄協(xié)調(diào)，堪稱中華民族的文化瑰寶。從文字個(gè)數(shù)和寓意上看，對(duì)聯(lián)也是一種對(duì)稱。

03

“圓”是最美的圖形

詩人但丁曾贊美道：“圓是最美的圖形”。從古至今，人們對(duì)圓有著特殊親切的情感。古錢幣、徽章、某些圖案設(shè)計(jì)中，皆可找到圓。這在某種程度上是基于圓的完美與簡(jiǎn)潔，其實(shí)圓也是一個(gè)最完美的對(duì)稱（軸對(duì)稱和中心對(duì)稱）圖形。

蜘蛛網(wǎng)上的水滴

數(shù)學(xué)中人們對(duì)于簡(jiǎn)潔的追求永無止境。正如牛頓所說：“數(shù)學(xué)家不但更容易接受漂亮的結(jié)果，不喜歡丑陋的結(jié)論，而且他們也非常推崇優(yōu)美與雅致的證明，不喜歡笨拙與繁復(fù)的推理。”

與圓有關(guān)的圖形還有很多，比如圓錐、圓柱、球……與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，更是不勝枚舉。

古希臘學(xué)者阿基米德死于進(jìn)攻西西里島的羅馬士兵之手。人們?yōu)榧o(jì)念他，便在其墓碑上刻上“球內(nèi)切于圓柱”的圖形，以紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的三分之二”這一定理。

傳說阿基米德正在全神貫注地畫幾何圖，一名羅馬士兵闖了進(jìn)來，阿基米德疾聲喝道“別動(dòng)我的圓！”士兵用利劍刺殺了阿基米德。

把一些重要或知名的數(shù)字寫成一個(gè)圓的螺線形（且由大到小螺旋式順時(shí)針描繪），這種圖形常會(huì)是令人賞心悅目的。

1994年由一些破譯密碼志愿者組成的小組成功破譯了一個(gè)有128位數(shù)字的密碼，密碼破譯后譯為："The magic words are squeamish ossifrage"（意為“魔術(shù)的語言是易受驚嚇的髭兀鷹”）。

人們把這個(gè)數(shù)寫成—個(gè)似乎圓形的螺線形狀，且數(shù)字字體從大漸次變小排列，新穎且極富動(dòng)感。

04

分形——怪異曲線的數(shù)學(xué)分支

微積分發(fā)明之后，數(shù)學(xué)家們?yōu)榱四撤N目的而臆造的曲線，長(zhǎng)期以來一直視為數(shù)學(xué)中的“怪胎”（從和諧與否角度看），如構(gòu)造連續(xù)但不可微函數(shù)、周長(zhǎng)無窮所圍面積為零的曲線等。

然而這一切卻被慧眼識(shí)金的數(shù)學(xué)家視為珍寶，從某些角度考慮它們又真的被看成數(shù)學(xué)中的“美”。人們將它們經(jīng)過加工、提煉、抽象、概括而創(chuàng)立了一門新的數(shù)學(xué)分支——分形。

分形幾何是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家芒德布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門數(shù)學(xué)新分支，它研究的是廣泛存在于自然界和人類社會(huì)中一類沒有特征尺度卻有著相似結(jié)構(gòu)的復(fù)雜形狀和現(xiàn)象。

它與歐氏幾何不同，歐氏幾何是關(guān)于直覺空間形體關(guān)系分析的一門學(xué)科，它研究的是直線、圓、正方體等規(guī)則的幾何形體，這些形體都是人為的。但是，“云彩不是球體、山嶺不是錐體、海岸線不是圓周”。

分形圖示例

20世紀(jì)60年代英國(guó)《科學(xué)》雜志刊載芒徳布羅的文章《英國(guó)海岸線有多長(zhǎng)？》。這個(gè)看似不是問題的問題，仔細(xì)回味后卻會(huì)令人大吃一驚：試想，除了能給岀如何估算的方法性描述外卻無肯定的答案——海岸線長(zhǎng)會(huì)隨著度量標(biāo)度（或步長(zhǎng)）的變化而變化。

因?yàn)槿藗冊(cè)跍y(cè)量海岸線長(zhǎng)時(shí)（注意它是一條不規(guī)則曲線），總是先假定一個(gè)標(biāo)度，然后用它沿海岸線步測(cè)一周得到一個(gè)多邊形，其周長(zhǎng)可視為海岸線的近似值：顯然由于標(biāo)度選取的不同，海岸線長(zhǎng)的數(shù)值不一，且標(biāo)度越細(xì)密，海岸線數(shù)值越大。

確切地講，當(dāng)標(biāo)度趨向于0時(shí)，海岸線長(zhǎng)并不趨向于某個(gè)確定的值而會(huì)變得無窮大（無窮不是數(shù)，而是一個(gè)極限過程）。

海岸線測(cè)量示意圖

許多相關(guān)的分形會(huì)產(chǎn)生漂亮的令人感興趣的圖形，美國(guó)著名物理學(xué)家惠勒說：“可以相信，明天誰不熟悉分形，誰就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人！”

05

用“彭羅斯瓷磚”填滿無限

數(shù)學(xué)中“用有限來填滿無限”是一個(gè)有趣的話題。20世紀(jì)70年代，英國(guó)物理學(xué)家（也是有時(shí)把數(shù)學(xué)作為娛樂消遣的數(shù)學(xué)家）彭羅斯開始有興趣研究在同一張平面上用不同的瓷磚鋪設(shè)的問題。

1974年，當(dāng)他發(fā)表結(jié)果時(shí)，人們都大吃一驚。文中他確定了三類這種瓷磚（下稱彭羅斯瓷磚），第一類兩種分別為風(fēng)箏形和鏢形，它們是由同一個(gè)菱形剪出的；第二類是由邊長(zhǎng)相同、胖瘦不一的兩種菱形組成的（有趣的是它們的面積比恰為0.618）；第三類則由正五邊形、菱形、五角星形、黃冠形四種圖形組成。

這種瓷磚的奇妙之處在于：用它們中的每一類皆可無重疊又無縫隙地鋪滿平面，同時(shí)鋪設(shè)結(jié)構(gòu)不具“平移對(duì)稱性”，也就是說，從整體上看圖形不重復(fù)。

更為奇妙的是，利用彭羅斯瓷磚進(jìn)行鋪砌時(shí)，還可從鋪砌的圖形中找出上述瓷磚自身的放大“克隆”。

06

莫比烏斯帶

一張紙，一塊布，你可以根據(jù)它們的形狀區(qū)分它的正面和反面，可現(xiàn)實(shí)生活中是否存在沒有正反面的曲面？

把一條長(zhǎng)的矩形紙帶扭轉(zhuǎn)180°后，再把兩端粘起來，這就成了一個(gè)僅有一個(gè)側(cè)面的曲面（無正反面），它被人們稱為莫比烏斯帶，由德國(guó)數(shù)學(xué)、天文學(xué)家莫比烏斯在1858年發(fā)現(xiàn)。

莫比烏斯帶的形成圖示：矩形帶扭轉(zhuǎn)180°，兩端粘起來，得到莫比烏斯帶。

莫比烏斯帶的出現(xiàn)，使人們對(duì)于正、反面概念有了新的認(rèn)識(shí)。從另外的角度看，這種曲面是一條永遠(yuǎn)走不到盡頭的（有限）曲面。

一支筆沿莫比烏斯帶表面移動(dòng)（不離開曲面），不久它又回到起點(diǎn)。

模仿莫比烏斯帶而設(shè)計(jì)的兒童游戲設(shè)施

一只螞蟻可以爬過莫比烏斯帶的整個(gè)曲面而不必跨越它的邊緣，這是拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)著名問題。

數(shù)學(xué)中1+2+3+…是一種無窮（無窮大），它沒有上界，當(dāng)然這種永遠(yuǎn)不到頭顯然體現(xiàn)一種無窮。難怪有人認(rèn)為，數(shù)學(xué)符號(hào)∞（無窮大）正是莫比烏斯帶在平面上的投影。

原標(biāo)題：《數(shù)學(xué)也可以這么美，15張圖走進(jìn)不一樣的數(shù)學(xué)》

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