皮克斯工作室參與制作的動(dòng)畫電影《心靈奇旅》成了朋友圈的熱門話題，豆瓣網(wǎng)友更是毫不吝嗇地給出了8.9的高分，踴躍貢獻(xiàn)14萬(wàn)+條短評(píng)。

除了立意新、歌好聽(tīng)，同樣經(jīng)常被觀眾提起的，是圓潤(rùn)光滑的人物形象和絲絲入扣的細(xì)節(jié)效果。精致的畫面，已經(jīng)成了皮克斯工作室的標(biāo)簽之一。

《心靈奇旅》劇照（圖源Disney+）

早在1994年，皮克斯工作室就制作了《玩具總動(dòng)員》（Toy Story），一經(jīng)上映便引起電影界的強(qiáng)烈震動(dòng)。作為影史首部完全使用電腦動(dòng)畫技術(shù)的動(dòng)畫長(zhǎng)片，《玩具總動(dòng)員》制造出完全不同于傳統(tǒng)手繪動(dòng)畫的立體觀感，成為了無(wú)數(shù)觀眾心中的動(dòng)畫電影里程碑，當(dāng)然也成了皮克斯工作室最閃亮的名片。

《玩具總動(dòng)員》劇照（圖源movie-empire）

計(jì)算機(jī)是如何模擬人手創(chuàng)造出立體逼真的動(dòng)畫形象的呢？

答案可能會(huì)令你意想不到：

微積分。

人類如何接近“宇宙無(wú)限”？

文 | 鸚鵡螺

01

無(wú)窮之“罪”

相信每一位小學(xué)數(shù)學(xué)老師都曾這樣提醒過(guò)剛學(xué)習(xí)除法的我們：0一定不可以作為除數(shù)，因?yàn)闆](méi)有數(shù)乘以零會(huì)得出非零數(shù)。我們從此將其奉為圭臬。

可真的如此嗎？

在實(shí)無(wú)窮條件下，如果一個(gè)無(wú)限接近0的數(shù)被累計(jì)無(wú)窮次，結(jié)果可以等于任何數(shù)。

微積分，便是把復(fù)雜的問(wèn)題分解為無(wú)窮個(gè)小問(wèn)題（微分），再將它們組合在一起（積分）。組合多少次呢？無(wú)窮次。

“無(wú)窮”是一個(gè)奇妙的封印。數(shù)學(xué)家史蒂夫·斯托加茨（Steven Strogatz）在著作《微積分的力量》中將無(wú)窮稱作“被通靈術(shù)召喚的靈魂”，這可不是恭維。例如，如果一段很短的線段被分為實(shí)無(wú)窮段，則每一段的長(zhǎng)度為0。亞里士多德認(rèn)為這會(huì)招致謬論，所以，他不允許在數(shù)學(xué)和哲學(xué)中使用實(shí)無(wú)窮，只能使用潛無(wú)窮。在接下來(lái)的2200年里，他的這條“法令”得到了數(shù)學(xué)家的支持。

在史前時(shí)期的黑暗角落里，有人意識(shí)到數(shù)字是無(wú)盡的。伴隨著這樣的想法，無(wú)窮誕生了，它是我們心靈深處、無(wú)底噩夢(mèng)和永生愿望中的某些東西的數(shù)字對(duì)應(yīng)物。無(wú)窮也是我們的很多夢(mèng)想、恐懼和未解之謎的核心：宇宙有多大？永遠(yuǎn)是多久？上帝有多強(qiáng)大？幾千年來(lái)，在人類思想的每一個(gè)分支，從宗教、哲學(xué)、科學(xué)到數(shù)學(xué)，無(wú)窮一直困擾著世界上最優(yōu)秀的大腦，始終被視為一個(gè)危險(xiǎn)的概念。

《微積分的力量》

中信出版社·鸚鵡螺

2021年1月

而正如《微積分的力量》的引文原書名Infinite Powers（可直譯為“無(wú)窮的力量”）所暗示的，無(wú)窮擁有力量，但只有在被“馴化”后才能夠發(fā)揮它驚人而奇妙的能量，這種“馴化”實(shí)則是一場(chǎng)壯麗的天才接力。在書中，斯托加茨本人成了一位優(yōu)雅從容的引路者，將天才們的生命之鏈徐徐展開(kāi)。

02

“我們之后的世代”

如何用素描技法畫出一個(gè)圓？首先要畫一個(gè)方形，再將它一步步切成多邊形，邊越多，看起來(lái)越像一個(gè)完美的圓。

阿基米德運(yùn)用了類似的思路計(jì)算圓周率。但圓并不是由直線組成的，而是由彎曲的弧組成的。當(dāng)我們用直線來(lái)代替每一段弧時(shí)，就相當(dāng)于走了點(diǎn)兒捷徑。因此，近似值肯定小于圓形路徑的實(shí)際長(zhǎng)度。但至少在理論上，通過(guò)走足夠多的步數(shù)，并且每一步的步長(zhǎng)足夠短，我們就可以盡可能精確地估算出圓形路徑的長(zhǎng)度。

阿基米德從由6條線組成的路徑開(kāi)始，6是一個(gè)非常小的步數(shù)，六邊形顯然也不太像一個(gè)圓，但對(duì)阿基米德來(lái)說(shuō)一切才剛開(kāi)始。當(dāng)從六邊形中得出結(jié)論之后，他縮短了步長(zhǎng)，并將步數(shù)翻倍。他的做法是，繞路到每段弧的中點(diǎn)處，用兩小步取代之前的橫跨弧的一大步。

之后他不斷重復(fù)這一做法。從6步到12 步，24 步、48 步、96 步，并以令人頭痛不已的精密度算出了這些不斷縮小的步長(zhǎng)。

阿基米德徒步切圓示意圖

（圖源《微積分的力量》：駕馭無(wú)窮的勇士）

無(wú)論是在邏輯上還是在算術(shù)上，阿基米德計(jì)算π值的行為都堪稱壯舉。借助圓內(nèi)接96邊形和圓外接96邊形，他最終證明π大于3 + 10/71 而小于3 + 10/70。

人們崇拜阿基米德，是因?yàn)樗谧约旱恼撝凶隽缩r有天才會(huì)做的事情：邀請(qǐng)我們參與其中，向我們展示他是如何思考的。他冒著受到攻擊的風(fēng)險(xiǎn)，分享了自己的直覺(jué)，希望未來(lái)的數(shù)學(xué)家也能夠用它去解決他不理解的問(wèn)題。今天，這個(gè)秘訣被稱為阿基米德方法。

阿基米德方法復(fù)寫本

（圖源：top.zhan.com）

阿基米德坦承，盡管他的方法“并沒(méi)有真正證明”他感興趣的結(jié)果，但他提出了自己的希望：

“在現(xiàn)在和未來(lái)的幾個(gè)世代中，某些人會(huì)利用這種方法，找到我們尚未掌握的其他定理。”

這位無(wú)與倫比的天才在數(shù)學(xué)的無(wú)限性面前感到了自己生命的有限性，他認(rèn)識(shí)到還有很多事情要做。所有數(shù)學(xué)家都有這樣的感覺(jué)，我們的研究課題永無(wú)止境，就連阿基米德本人也要俯首稱臣。

阿基米德的遺產(chǎn)直到今天仍然熠熠生輝?！锻婢呖倓?dòng)員》中的角色之所以看起來(lái)栩栩如生，部分原因在于它們體現(xiàn)了阿基米德的一個(gè)洞見(jiàn)：任何平滑表面都可以令人信服地用三角形來(lái)逼近。我們使用的三角形越小和越多，逼近效果就越好。這一思路一直持續(xù)到制作《心靈奇旅》的今天。

阿基米德之后1800年，伽利略和開(kāi)普勒將目光望向宇宙，如果沒(méi)有他們，我們或許還不知全球定位系統(tǒng)和航天器為何物。微積分故事中的關(guān)鍵時(shí)刻出現(xiàn)在17世紀(jì)中葉，曲線之謎、運(yùn)動(dòng)之謎和變化之謎在二維網(wǎng)格——費(fèi)馬和笛卡兒的xy平面——上發(fā)生了碰撞。我們今天已經(jīng)對(duì)他們創(chuàng)造出的坐標(biāo)軸習(xí)以為常了。

開(kāi)普勒的天體運(yùn)行模型

（《微積分的力量》：運(yùn)動(dòng)定律的探索之旅）

到了下一代，在費(fèi)馬、笛卡兒、伽利略和開(kāi)普勒的研究成果的基礎(chǔ)之上，英國(guó)的牛頓和德國(guó)的萊布尼茨徹底改變了數(shù)學(xué)的進(jìn)程。他們把關(guān)于運(yùn)動(dòng)和曲線的思想松散地拼湊在一起，創(chuàng)立了微積分。

1673年，當(dāng)萊布尼茨引入“微積分”一詞時(shí)，他的原話是“a calculus”（一個(gè)微積分），有時(shí)還會(huì)更親切地稱它為“my calculus”（我的微積分）。遺憾的是，現(xiàn)在它的冠詞和所有格全都消失了，只剩下單調(diào)蒼白的“calculus”。

撇開(kāi)冠詞不談，calculus這個(gè)詞本身就有很多故事。它源自拉丁詞根calx，意指一塊小石頭，醫(yī)生也會(huì)用這個(gè)詞來(lái)指代結(jié)石。諷刺的是，牛頓和萊布尼茨這兩位微積分先驅(qū)都死于給他們?cè)斐蓸O大痛苦的結(jié)石：牛頓患有膀胱結(jié)石，而萊布尼茨患有腎結(jié)石。

牛頓和萊布尼茨通過(guò)兩條不同的途徑各自得出了微積分基本定理。牛頓的方法是思考運(yùn)動(dòng)與流動(dòng)問(wèn)題，也就是數(shù)學(xué)連續(xù)性的一面。而萊布尼茨的方法正相反，盡管他是一個(gè)未受過(guò)正規(guī)訓(xùn)練的數(shù)學(xué)家，但他年輕時(shí)花了些時(shí)間思考離散數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如整數(shù)與計(jì)數(shù)、組合與排列，以及分?jǐn)?shù)與特定類型的和。

比如，經(jīng)典的惠更斯謎題：

如果你看不出其中的技巧，它就是一個(gè)冗長(zhǎng)而直接的計(jì)算過(guò)程。只要有足夠的耐心（或者一臺(tái)計(jì)算機(jī)），我們就可以逐一地加總這99項(xiàng)。而萊布尼茨的簡(jiǎn)潔解法很快就指引他得出了自己的核心定理。

假設(shè)一個(gè)人正在爬一段很長(zhǎng)且不太規(guī)則的樓梯。如果攀登者想測(cè)量從樓梯底部到頂部的垂直高度，他如何才能做到呢？把每個(gè)臺(tái)階的垂直高度全部加起來(lái)，這種毫無(wú)創(chuàng)意的方法和前文中提到的把99項(xiàng)逐一加起來(lái)求S的做法是一樣的。這樣做雖然沒(méi)什么問(wèn)題，但因?yàn)闃翘萏灰?guī)則了，所以算起來(lái)會(huì)很麻煩。

更好的方法就是使用高度計(jì)。如果圖中的攀登者有一個(gè)高度計(jì)，他就可以用樓梯頂部的高度減去樓梯底部的高度來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，不管樓梯有多么不規(guī)則，這個(gè)方法都行之有效。

我們要把這個(gè)算式的每一項(xiàng)都改寫成兩個(gè)數(shù)字之差的形式，這就好比每個(gè)臺(tái)階的垂直高度等于它的頂部高度減去底部高度。第一個(gè)“臺(tái)階”可改寫為：

同樣地，我們可以把S中的其他項(xiàng)都改寫成連續(xù)單位分?jǐn)?shù)之差的形式：

當(dāng)我們把所有這些連續(xù)單位分?jǐn)?shù)之差加總時(shí)，S 就會(huì)變?yōu)椋?img alt="" height="85" width="550" loading="lazy" data-src="https://imagepphcloud.thepaper.cn/pph/image/176/447/769.jpg" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///ywAAAAAAQABAAACAUwAOw==" data-imageid="176447769">所以，結(jié)果是：萊布尼茨意識(shí)到，他可以用同樣的技巧計(jì)算任意多項(xiàng)分?jǐn)?shù)的和。如果求和算式包含N項(xiàng)而不是99項(xiàng)，那么結(jié)果將是：

這樣一來(lái)，惠更斯的無(wú)窮級(jí)數(shù)求和問(wèn)題的答案就變得很清楚了：當(dāng)N趨于無(wú)窮時(shí)，1/(N + 1)會(huì)趨于0，S則會(huì)趨于1。所以，極限值1就是惠更斯謎題的答案。

這一切就是萊布尼茨版本的反向問(wèn)題和微積分基本定理。正如他說(shuō)的那樣，“求圖形面積的運(yùn)算過(guò)程可以簡(jiǎn)化為：已知一個(gè)級(jí)數(shù)，去求和；或者已知一個(gè)級(jí)數(shù)，去找另一個(gè)級(jí)數(shù)，后者的連續(xù)數(shù)之差與前者的各項(xiàng)一致?！本瓦@樣，差與伸縮和引導(dǎo)萊布尼茨創(chuàng)立了微分和積分，并得出了基本定理，正如流數(shù)術(shù)與擴(kuò)張的面積引領(lǐng)牛頓到達(dá)同一個(gè)隱秘源泉一樣。

03

思維的虛構(gòu)產(chǎn)物

盡管微分是思維的虛構(gòu)產(chǎn)物，但自從萊布尼茨發(fā)明微分以來(lái)，它們就以非虛構(gòu)的方式深刻地影響著我們的世界、社會(huì)和生活。

通常情況下，微積分都是在我們?nèi)粘Ｉ畹谋澈竽匕l(fā)揮著作用。就GPS而言，這個(gè)系統(tǒng)的幾乎所有功能都取決于微積分。

想想衛(wèi)星和接收器之間的無(wú)線通信，通過(guò)麥克斯韋所做的研究，微積分預(yù)言了電磁波的存在，從而使無(wú)線通信成為可能。所以，沒(méi)有微積分，就不會(huì)有無(wú)線通信和GPS。同樣地，GPS衛(wèi)星上的原子鐘利用的是銫原子的量子力學(xué)振動(dòng)，而微積分是量子力學(xué)方程及其求解方法的基礎(chǔ)。所以，沒(méi)有微積分，就不會(huì)有原子鐘。

微積分還是計(jì)算衛(wèi)星軌道和控制衛(wèi)星位置的數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)，當(dāng)原子鐘高速運(yùn)動(dòng)或在弱引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，微積分也是把愛(ài)因斯坦的相對(duì)論改正與原子鐘時(shí)間結(jié)合在一起的數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)，但我希望把重點(diǎn)說(shuō)清楚。微積分為很多使GPS成為可能的技術(shù)研發(fā)創(chuàng)造了條件，當(dāng)然，微積分并不能獨(dú)立做到這一切。盡管它是一個(gè)配角，卻是一個(gè)重要的配角。和電氣工程學(xué)、量子物理學(xué)、航空航天工程學(xué)等學(xué)科一樣，微積分也是這個(gè)團(tuán)隊(duì)中不可或缺的一部分。

微積分是用于研究任何事物的想法與方法的龐雜集合，這些事物的變化平穩(wěn)而連續(xù)，符合無(wú)窮原則。該定義的范疇囊括了牛-萊的微積分理論及其子孫后代：多變量微積分，常微分方程，偏微分方程，傅里葉分析，復(fù)分析，以及高等數(shù)學(xué)中涉及極限、導(dǎo)數(shù)和積分的所有其他分支。

由此可見(jiàn)，微積分還沒(méi)有完結(jié)，它和以前一樣求知若渴。從阿基米德后的世代，到我們之后的世代，走向無(wú)窮。

原標(biāo)題：《人類如何接近“宇宙無(wú)限”？》

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