2021年5月14日12時(shí)46分，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、中國(guó)科學(xué)院院士、中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員王元因病醫(yī)治無效，在北京逝世，享年91歲。

王元先生在解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論以及數(shù)論方法應(yīng)用等方面均作出了卓越貢獻(xiàn)。他26歲時(shí)證明關(guān)于哥德巴赫猜想“3+4”命題，這是我國(guó)在該領(lǐng)域第一個(gè)重要成果。后與華羅庚一起開拓開拓了高維數(shù)值積分的研究方向，并創(chuàng)造了“華-王方法”；他們的專著《數(shù)論在近似分析中的應(yīng)用》享譽(yù)中外。王元先生對(duì)代數(shù)數(shù)域上的丟潘圖分析以及數(shù)論方法在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用等方面也作出了杰出成果。

本文為1990年王元獲得陳嘉庚科學(xué)獎(jiǎng)后的采訪，訪談中涉及到了王元先生與華羅庚師生合作，對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的看法，以及個(gè)人經(jīng)歷等。如今斯人已去，往事可追，謹(jǐn)以此文紀(jì)念王元先生。

努力做一個(gè)誠(chéng)實(shí)，不自私和樂于奉獻(xiàn)的知識(shí)分子。

——王元

撰文 | 袁向東（中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所）

1990 年 12 月 27 日，筆者訪問了現(xiàn)任中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)王元教授。他詳細(xì)回答了筆者提出的各種問題，諸如他的學(xué)校生活、他與華羅庚的師生及合作關(guān)系、他對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)成果評(píng)價(jià)的看法，以及他今后的打算?，F(xiàn)整理如下，以饗讀者。文中的 Y 代表訪問者，W 代表王元教授。

Y：王元教授，今天很高興能訪問你。我想開門見山。1990 年的陳嘉庚獎(jiǎng)[1]中的物質(zhì)科學(xué)獎(jiǎng)，被兩位數(shù)學(xué)家獲得，就是你和華羅庚教授。在眾多的競(jìng)爭(zhēng)入選項(xiàng)目中，你們的“數(shù)論在數(shù)值分析中的應(yīng)用“一舉奪魁，應(yīng)該說對(duì)數(shù)學(xué)界是個(gè)鼓舞。數(shù)學(xué)家的工作得到科學(xué)界的承認(rèn)，并給予了很高的榮譽(yù)，你是否就此談點(diǎn)感想。

W：數(shù)學(xué)放在物質(zhì)科學(xué)范圍內(nèi)不完全合適。但現(xiàn)在陳嘉庚獎(jiǎng)沒單獨(dú)設(shè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)， 數(shù)學(xué)和物理、化學(xué)、天文、力學(xué)同歸在物質(zhì)科學(xué)名下。物質(zhì)科學(xué)獎(jiǎng)今年是第二次頒發(fā)，前年第一次獲獎(jiǎng)項(xiàng)目是超導(dǎo)和晶體方面的成果。

我們這項(xiàng)工作起步很早，50 年代末就開始，1977 年基本完成。1978 年出了書（中文版）。它的英文和日文譯稿差不多同時(shí)完成。1981 年 Springer 出版社首先出了英文版。英文差不多是國(guó)際通用語言，日本人覺得沒必要再出日文本，他們把譯稿寄給了我。譯者是名古屋工業(yè)大學(xué)教授江田義計(jì)，是日本文部省資助翻譯的。

我覺得科學(xué)工作主要由時(shí)間來作最后的評(píng)判。得獎(jiǎng)工作可能有點(diǎn)長(zhǎng)處，但不是每項(xiàng)好的工作都一定得獎(jiǎng)。沒有得獎(jiǎng)的工作中有些是很好的。

Y：你們這項(xiàng)工作在國(guó)際數(shù)學(xué)界和應(yīng)用部門的反響相當(dāng)大。就我看到的資料，國(guó)外的書評(píng)就不下 15 篇，引用就更多了。這項(xiàng)工作到底好在什么地方？

W：這個(gè)工作有些實(shí)際應(yīng)用。國(guó)內(nèi)在部隊(duì)工作的一些朋友告訴我有用；在美國(guó)，得克薩斯的一位教授告訴我，他用我們的方法算過石油工業(yè)方面提出的一個(gè)五重積分。美國(guó)的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)址局 (Burseau of Standard)，還有加拿大多倫多大學(xué)都在計(jì)算機(jī)上使用過我們的方法，證明它的實(shí)際效果是好的。應(yīng)用數(shù)學(xué)要有用才行。

“應(yīng)用數(shù)學(xué)是新興的學(xué)科”

Y：我想你們這項(xiàng)工作無疑屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)。怎樣來評(píng)價(jià)一項(xiàng)應(yīng)用數(shù)學(xué)工作呢，有沒有什么標(biāo)準(zhǔn)？

W：我的看法不一定對(duì)，僅供參考。純粹數(shù)學(xué)的歷史比較長(zhǎng)。如以 19 世紀(jì)初作為近代純粹數(shù)學(xué)的發(fā)端，也有將近 200 年的歷史了。在本世紀(jì)三四十年代，英國(guó)數(shù)學(xué)家 Hardy 發(fā)表一種觀點(diǎn)，認(rèn)為美的數(shù)學(xué)才有價(jià)值，才能流傳于世。這代表了一種對(duì)純粹數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)的美倒底是什么？各人理解不盡相同，大家都用 elegant 或 beautiful 這些詞來形容。我想本質(zhì)就在于 simple，它是一種“簡(jiǎn)單”的美，而不是華麗的美。

應(yīng)用數(shù)學(xué)就不同了，它是一門新興的學(xué)科。本世紀(jì)初， 德國(guó)格丁根大學(xué)讓 C. Runge 開一門課，叫應(yīng)用數(shù)學(xué)。于是他就到處找方法，這個(gè)方法、那個(gè)方法，當(dāng)作一門應(yīng)用數(shù)學(xué)課來講。

Y：從《希爾伯特》這本傳記上知道，這大概是 1904 年的事。Runge 就是搞出 Runge-Kutta 方法的那位數(shù)學(xué)家吧！

W：不錯(cuò)。那時(shí)僅是一點(diǎn)點(diǎn)萌芽。二次大戰(zhàn)期間興起了一個(gè)運(yùn)籌學(xué)，近代統(tǒng)計(jì)學(xué)大約在 30 年代或早一些時(shí)候出現(xiàn)在英國(guó)。所以，應(yīng)用數(shù)學(xué)的歷史我猜想只有半個(gè)世紀(jì)左右。

Y：我想你是說應(yīng)用數(shù)學(xué)作為一門獨(dú)立學(xué)科的歷史不長(zhǎng)。應(yīng)用當(dāng)然從古至今都有。

W：只是講數(shù)學(xué)的應(yīng)用，那是無所謂的， 事實(shí)上并沒用到什么數(shù)學(xué)中真正重要的東西。Hardy 講過一句絕話，沒有應(yīng)用的數(shù)學(xué)才是好的，好就好在沒有應(yīng)用。因?yàn)閿?shù)學(xué)不是一個(gè)服務(wù)性行業(yè)，不能根據(jù)有用沒用來判斷它的好壞；否則它就沒有必要獨(dú)立存在了，就變成其它科學(xué)的附庸了。

“除優(yōu)美之外，應(yīng)用數(shù)學(xué)要真正能用”

W：應(yīng)用數(shù)學(xué)現(xiàn)在還不完全成熟，沒有形成一套國(guó)際公認(rèn)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，分歧比較大。有人認(rèn)為應(yīng)用數(shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)，這種觀點(diǎn)恐怕不全面；有的人認(rèn)為只要有用就好，也不完全。我想應(yīng)用數(shù)學(xué)跟純粹數(shù)學(xué)總有點(diǎn)差別。差別就是除優(yōu)美之外，應(yīng)用數(shù)學(xué)要真正能用。實(shí)際上，這兩方面有緊密的聯(lián)系。不美的東西太繁，用起來不方便或者根本沒法真正去用。這是我們做積分近似計(jì)算、搞數(shù)值分析的指導(dǎo)思想。

Y：我想坦率地問一句。1958 年你們開始這項(xiàng)研究，那時(shí)的特殊環(huán)境是否是你們選擇這項(xiàng)應(yīng)用課題的直接原因。

W：當(dāng)時(shí)的形勢(shì)希望數(shù)學(xué)家去搞跟實(shí)際結(jié)合的東西。但我們是權(quán)衡過利弊的。如果這個(gè)題目的永久價(jià)值太小，不管什么形勢(shì)我們也不會(huì)干的。正是因?yàn)樗蟿偛胖v的兩個(gè)條件，我們才可能丟下其它工作，全心全意地深入進(jìn)去搞。

Y：就是說這并非是權(quán)宜之計(jì)， 隨便找個(gè)應(yīng)用課題搞搞。是否請(qǐng)你詳細(xì)談?wù)劯氵@項(xiàng)研究的學(xué)術(shù)背景。

“牛頓本人就是積分近似計(jì)算的專家”

W：我們這項(xiàng)工作有一個(gè)具體模型， 就是算多重積分。積分近似計(jì)算的歷史很悠久了，牛頓發(fā)明微積分，本來考慮的也是積分近似計(jì)算，因?yàn)槟芮蟪鲈瘮?shù)的函數(shù)很少。牛頓本人就是積分近似計(jì)算的專家，搞出了一些經(jīng)典的多項(xiàng)式插值公式來計(jì)算積分。在他之后，又有許多數(shù)學(xué)家得出很多公式，但都是用來計(jì)算單重積分的。多重積分即高維的積分，是沒人去做的。為什么過去幾個(gè)世紀(jì)都沒人搞呢？因?yàn)榧词垢愠鰝€(gè)方法也無法實(shí)現(xiàn)，沒有高速電子計(jì)算機(jī)這種工具。足見數(shù)學(xué)這個(gè)東西并不是可以胡思亂想的。另一方面，多重積分隨著維數(shù)的增加，其計(jì)算量的增長(zhǎng)快得不得了；方法不好，即使計(jì)算機(jī)的速度再提高幾個(gè)數(shù)量級(jí)，仍然算不了多重積分。所以好的方法變得特別重要了。計(jì)算方法的研究本質(zhì)上是一種軟科學(xué)，很多人也許還沒注意到軟科學(xué)的進(jìn)步。

Y：多重積分的數(shù)值計(jì)算最早可以追溯到什么時(shí)候？

W：我想 von Neumann 和 Ulam 時(shí)代就開始了。他們用 Monte Carlo 方法。但這個(gè)方法粗得很。具體運(yùn)用時(shí)大致只能算到三重積分，維數(shù)再高就不一定好算了。而數(shù)論方法可以把維數(shù)提高到十幾維。

Y：你能不能極簡(jiǎn)要地說明一下數(shù)論方法的實(shí)質(zhì)？

W：可以。Monte Carlo 方法是把一個(gè)分析問題（比如求積分值）變成一個(gè)概率問題，兩個(gè)問題有同樣的解。這樣就可以用統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)的方法來做這個(gè)概率問題，從而得到原分析問題的解。但統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)是很粗的。我們能不能直接用確定性的方法來計(jì)算多重積分呢？而且要脫開古典方法一重一重來算的框架，直接從高維空間的整體出發(fā)來做。其關(guān)鍵是要在高維空間找出一組點(diǎn)列，分布得又非常均勻，是一致分布的。這不是統(tǒng)計(jì)意義下的一致分布，是按照 Hermann Weyl 定義下的分析意義上的一致分布。我們由實(shí)分圓域定義的一致分布點(diǎn)列出發(fā)，求出了它們的 discrepancy （偏差），這樣可以精確地把誤差估出來。

“華羅庚說，被王元拉上了一條路”

Y：用數(shù)論方法搞積分近似計(jì)算，你們是不是世界上第一家。

W：不是的。我們搞這項(xiàng)研究有點(diǎn)戲劇性。我最初看到蘇聯(lián)的一篇文章，表明蘇聯(lián)科學(xué)院的討論班已在考慮這個(gè)問題，是 1958 年。我被這種新的方向吸引住了，拿著那份材料（關(guān)鍵就是一行公式）去找華老。

Y：你還記得是誰的文章？

W：記不準(zhǔn)是 KopOóOB 的還是 Гнеденко 的，是篇通俗介紹材料，講了積分近似計(jì)算跟 Monte Carlo 方法的關(guān)系，講了偽隨機(jī)數(shù)是服從一致分布的。他們用一個(gè)單和去逼近積分，而這個(gè)和是用一致分布點(diǎn)列構(gòu)造出來的。那天華老很累，不想看。我說你就看這一行，行不行？他說，那好吧。一看，他就看出 Monte Carlo 方法實(shí)質(zhì)上就是數(shù)論中的一種方法。華老說；“一層紙戳穿了，就那么一點(diǎn)點(diǎn)東西” (Monte Carlo 方法在當(dāng)時(shí)還是比較新的）。此后，他對(duì)這個(gè)問題就很有興趣。所以華老后來說是被王元拉上了一條路。

Y：這么說，你先看到的文章還不是正式的研究論文！

W：實(shí)際上 KopOóOB 在 1957 年巳發(fā)表了數(shù)論方法用于近似計(jì)第的第一篇理論文章[2] 。我們也是在 1958 年看到的。他的方法用了完整三角和，但不太精密。我把這篇文章給華老看了。完整三角和是華老在純粹數(shù)學(xué)方面的最大貢獻(xiàn)。蘇聯(lián)人不是用 Виноградов 的三角和，而正是用他的完整三角和在數(shù)論與積分近似計(jì)算之間搭了座橋。他確實(shí)很高興。

Y：看來，你們和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家要展開，一場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)了。

W：KopOóOB 比較好的方法是 1959 年發(fā)表的。這個(gè)方法從應(yīng)用數(shù)學(xué)的角度看有一點(diǎn)差勁，計(jì)算量太大。從純粹數(shù)學(xué)的眼光看它確實(shí)是構(gòu)造性的，但從應(yīng)用數(shù)學(xué)的眼光看，它還是偏于存在性的。它的適用范圍似乎也比較小。

我們的第一項(xiàng)成果也是在 1959 年得到的，1960 年發(fā)表在“科學(xué)紀(jì)錄”上。對(duì)二重積分我們得到了一個(gè)完美的逼近公式。

“華老在數(shù)學(xué)上最強(qiáng)的是直覺”

Y：你們的研究路子跟蘇聯(lián)人有沒有差別？

W：我們的問題和目標(biāo)很明確， 就是要找一種直接的方法，能比較快速地找出一組點(diǎn)，適用范圍要盡可能的大。華老根據(jù)他的直覺，認(rèn)為確定計(jì)算二重積分的點(diǎn)，即平面上的點(diǎn)，用 Fibonacci 序列和黃金分割就能得出來。我按他的想法去證，只用兩頁紙就證出來了。日本數(shù)學(xué)家彌永昌吉在即將發(fā)表的一篇紀(jì)念華羅庚先生的文章中寫上了這個(gè)公式，稱它是elegant。這個(gè)公式到今天仍在實(shí)際中使用。

蘇聯(lián)學(xué)者則是搞了很復(fù)雜的理論，繞了較大的圈子，最后才推出二重積分可用黃金分割去做。一比較，證明華老的直覺很強(qiáng)。

下一步，在向更高維擴(kuò)展時(shí)，F(xiàn)ibonacci序列怎么推廣？華老又憑他的直覺，認(rèn)為應(yīng)該是分圓域。他覺得從分圓域的單位出發(fā)，就可以找出均勻分布的點(diǎn)列。后來證明他的這個(gè)想法是對(duì)的。但當(dāng)時(shí)我們兩個(gè)都有一種弱點(diǎn)，因?yàn)槭歉慵兇鈹?shù)學(xué)出身，把邏輯推導(dǎo)當(dāng)成唯一的手段。他的直覺，在二維情形很容易證明，高維則不然了。他搞了半年多，證不出來，于是就放棄了。那是 1959 年里的事。

Y：關(guān)于華老在解決二維問題前的直覺，你能不能說得細(xì)一點(diǎn)。

W：當(dāng)時(shí)巳把問題歸結(jié)為一個(gè)很簡(jiǎn)單的提法，即如何找一個(gè)多變數(shù)線性齊次同余式，使它在盡可能大的區(qū)域內(nèi)沒有非零解。由此他猜出二維時(shí)可以用 Fibonacci 序列。很多跟他來往的人認(rèn)為，華羅庚先生最大的特點(diǎn)、最強(qiáng)的能力是邏輯推導(dǎo)和計(jì)算能力。事實(shí)上這并不是最重要的。你算得快、推導(dǎo)能力強(qiáng)，你一個(gè)月能干成的，人家多用點(diǎn)時(shí)間，比如三個(gè)月也能干出來。我感覺到他最強(qiáng)的是直覺力，這種本事就不是多花點(diǎn)時(shí)間和精力能做得到的。

華老的第二個(gè)特點(diǎn)是搞什么都用直接方法，把問題提明確，然后用單刀直入的辦法來對(duì)付它。這使他能在很多領(lǐng)域搞研究。

“走頭無路，我用了模擬的方法”

Y：華先生擱下這個(gè)課題后，你怎么辦？

W：我覺得還是不應(yīng)該放棄。在走頭無路的情況下，我決定把邏輯推導(dǎo)的手段徹底丟掉，而采用應(yīng)用數(shù)學(xué)的辦法，就是所謂的 simulation （模擬）。

用模擬方法，就是利用分圓域搞出一個(gè)高維的計(jì)算程序，沒有證明，對(duì)不對(duì)不知道，然后直接上計(jì)算機(jī)去算。當(dāng)初蘇聯(lián)西伯利亞分院為 KopOóOB 的方法編制過計(jì)算表，該表的點(diǎn)數(shù)上界是 10 萬，維數(shù)達(dá) 10 維。我的想法是試圖用計(jì)算機(jī)找出一組 11 維空間的點(diǎn)列，超出蘇聯(lián)學(xué)者的表的范圍。即使得不到理論上的結(jié)論，我們也可能給出一種算法。

Y：這種搞法跟你以前搞的純數(shù)學(xué)研究相距十萬八千里了！

W：確實(shí)。這時(shí)，我們只要在高維空間中找出一組點(diǎn)列，分布得非常均勻就夠了。而純粹數(shù)學(xué)就要求研究所有這類點(diǎn)列的共性，只找出一個(gè)例子是不行的。兩者截然不同。

經(jīng)過差不多四年的努力，到 1963 年，終于把這個(gè)程序搞了出來。接著就請(qǐng)計(jì)算所的同志上機(jī)算（我記得數(shù)學(xué)所還付了 200 元計(jì)算費(fèi)），他們幫了我很大的忙。我們算了個(gè) 11 重積分，使用的點(diǎn)數(shù)百萬計(jì)。它的精確度用計(jì)算機(jī)硬估出來（函數(shù)類確定后，可算出誤差的上界）。

我把這個(gè)結(jié)果給華老看，用的基本思想還是他提出的那個(gè)。1964 年， 我們合寫了一篇短文，在《科學(xué)通報(bào)》的成果簡(jiǎn)報(bào)欄發(fā)表了。1965 年， 我們正式在《中國(guó)科學(xué)》上發(fā)了一篇文章，把那個(gè)程序從純數(shù)學(xué)的角度推廣了一下；實(shí)際上沒什么新東西，只是把分圓域推廣到一般域。這兩篇文章最后都是華老定稿的。

有一點(diǎn)需要說明，應(yīng)用數(shù)學(xué)的另一特點(diǎn)恐怕是不能說一個(gè)方法什么都好。我剛才給我們的方法說了太多好話。所以我還要補(bǔ)充說明一點(diǎn)， KopOóOB 的方法雖然繁， 但精度比我們的高一些，這是他的方法的優(yōu)點(diǎn)。

Y：我看到美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的 Bulletin (1983 年 5 月號(hào)）上有關(guān)于你們的方法的長(zhǎng)篇評(píng)論，說在許多情形中，你們的方法”以最少的計(jì)算批得到最精確的結(jié)果”。評(píng)價(jià)還是不錯(cuò)的。你們的這項(xiàng)工作就此結(jié)束了嗎？

W：后來文化革命，沒法搞了。實(shí)際上這時(shí)我們的工作僅遺留下一個(gè)尾巴，還沒從理論上闡述清楚這個(gè)方法的精度。不過，從實(shí)際應(yīng)用的角度考慮，理論的證明也許沒用，因?yàn)槔碚撋系恼`差往往偏大，要讓誤差趨于零，點(diǎn)數(shù)就得趨于無窮才行。

Y：從完整的角度看，理論證明還是有意義的。

W：作為—個(gè)科學(xué)問題來看是有意義的，但從應(yīng)用講沒什么意義。

“國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)曾邀請(qǐng)華羅庚作報(bào)告”

W：1972 年廖承志先生帶了個(gè)代表團(tuán)訪問日本，華老是代表團(tuán)成員。在日本時(shí)，當(dāng)?shù)貙W(xué)者告訴他我們的數(shù)值積分方法非常成功，給了他一本剛剛開過的學(xué)術(shù)會(huì)議的論文集 (1972 年時(shí)國(guó)際上的學(xué)術(shù)會(huì)還不像現(xiàn)在這么多）。在這次學(xué)術(shù)會(huì)上專門討論了我們的方法，用二三十頁的文章闡明我們那篇小小的研究簡(jiǎn)報(bào)，并在 S. Haber 的文章中第一次把它稱為華－王方法。

Y：那時(shí)還在文化革命之中，你們聽到這個(gè)消息作何感想？

W：華老回國(guó)后給我打了個(gè)電話，要我去找他，說有一個(gè)很好的消息要告訴我。我去了，他給我看了剛才說的論文集。我真沒想到一個(gè)研究簡(jiǎn)報(bào)已在國(guó)外受到這樣的重視。所以很想在理論上加緊搞一搞?？墒且_(dá)到理論上完整需要一條大定理，它的難度有點(diǎn)像證 Riemann 猜想。就是要把 Roth 定理推廣到高維。

Y：請(qǐng)你簡(jiǎn)單介紹一下 Roth 定理。

W：Roth 在 1958 年獲 Fields 獎(jiǎng)。獲獎(jiǎng)工作是代數(shù)數(shù)的有理逼近，給出了最好的下界是什么。如能把這條定理推廣到高維空間，我們的理論問題就全解決了，因?yàn)榉謭A域的基就是一大堆代數(shù)數(shù)。Roth 在得獎(jiǎng)時(shí)說他對(duì)二維的情形就毫無辦法，對(duì)高維幾乎無法想象它是對(duì)的。Roth 定理起源于 Liouville 的工作，很多大數(shù)學(xué)家搞過，如 Thue, Siegel，Гельфонд， Dyson， 都只是對(duì) Liouville 定理作出一些實(shí)質(zhì)改進(jìn)，直到 1955 年 Roth 才得到最佳結(jié)果。使我們最后成功的轉(zhuǎn)機(jī)是 1970 年出現(xiàn)的，這也是運(yùn)氣，W. Schmidt 居然證明了 Roth 定理在高維的推廣。他不愧是當(dāng)代最大的數(shù)論專家之一。

Y：看來，你們這項(xiàng)工作快接近尾聲了。

W：我是在 Acta Mathematica 上看到他的連載文章的，加起來有 100 頁。我就把它用上來，我們的理論完整了。寫的三篇文章華老都仔細(xì)看了，是對(duì)的。1973-1975 年先后發(fā)表了這三篇文章。這是我們五六十年代工作的繼續(xù)。

有一件事國(guó)內(nèi)可能很少人知道，就是 1974 年在溫哥華召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)曾邀請(qǐng)華老去做演講，愿在大會(huì)上做或在專題組上做都行，題目自選。但我們知道多倫多大學(xué)很重視積分近似計(jì)算這個(gè)課題，他們直接上機(jī)做過大量計(jì)算。華老本人很愿意去講，想講的內(nèi)容也是這項(xiàng)成果。他曾要我?guī)退麑懸粋€(gè)講稿。后來因上面沒批準(zhǔn)而沒能成行。四年后的陳景潤(rùn)和八年后的馮康先生，也都因同樣原因沒能接受國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的邀請(qǐng)去作報(bào)告。

(a)《哥德巴赫猜想》; (b)《數(shù)論方法在數(shù)值分析中的應(yīng)用》; (c)《統(tǒng)計(jì)中的數(shù)論方法》; (d)《王元論文選集》。

Y：你們那本《數(shù)論在近似分析中應(yīng)的用》是什么時(shí)候動(dòng)筆的？

W：數(shù)學(xué)工作就是這樣，做完了就寫書，好留傳下去。我們還要編出實(shí)用的表，象三角函數(shù)表那樣，用起來方便。文化革命結(jié)束前我們就開始寫了。我請(qǐng)徐廣善和計(jì)算所的張榮肖兩位，利用計(jì)算所百萬次的計(jì)算機(jī)算（這次因有張榮肖直接參與，數(shù)學(xué)所就不用花錢了），把 18 維以內(nèi)的表都編成了。1977 年書完稿。1978 年出中文版，后來 Springer 很積極要出，他們拿到英文稿后，改都沒改就發(fā)排出版了。

Y：我看到的書評(píng)說，該書英文版有些本來可以避免的缺點(diǎn)，比如書中沒有 index（索引），有些譯文有點(diǎn)毛病，還有印刷錯(cuò)誤沒校對(duì)出來?？磥硭麄兗庇诔鰰鴰砹它c(diǎn)遺憾。

W：還有些情況要說明。我們的書出版前，曾在 1961 年以“積分的近似計(jì)算”為名，出了一個(gè)通俗小冊(cè)子，何祚庥先生看后很欣賞，還專門寫了一篇書評(píng)（評(píng)“積分的近似計(jì)算”一書，兼論多重積分計(jì)算方法，《科學(xué)通報(bào)》1963)。1963 年又出了該書的修訂本，并改名為“數(shù)值積分及其應(yīng)用＂，馮康先生又寫了一個(gè)很長(zhǎng)的評(píng)論（未發(fā)表），以后馮康先生又要我為《中國(guó)大百科全書》寫一個(gè)一千多字的條目，考慮到我們的課題在整個(gè)“近似分析”，中只占一點(diǎn)點(diǎn)，所以我寫了一個(gè)約五百字的條目，而且包括了 KopOóOB 的工作。徐利治先生在他寫的關(guān)于數(shù)值積分的書中，也把我們的工作列為一章。對(duì)于國(guó)內(nèi)同行的鼓勵(lì)，我們一直很感激。

“我喜歡音樂和游泳，不是什么時(shí)間都用來讀書”

Y：現(xiàn)在請(qǐng)你談?wù)勀阍谥小⑿W(xué)的表現(xiàn)好嗎？

W：我上小學(xué)時(shí)趕上抗日戰(zhàn)爭(zhēng)，小學(xué)總共只讀了三年。有一段時(shí)間是在往四川逃難的路上度過的。后來在重慶遠(yuǎn)郊的一所農(nóng)村小學(xué)讀了些日子的書。我記得那是座廟，條件很差。幸虧父親幫了不少忙，給我補(bǔ)習(xí)語文和算術(shù)。12 歲小學(xué)畢業(yè)。

Y：你上的是哪所中學(xué)？

W：原來四川教育比較落后，沒幾所好中學(xué)。后因抗戰(zhàn)，江蘇及其它一些地方的學(xué)校遷到了四川。當(dāng)時(shí)有兩所中學(xué)名氣大，一是中央大學(xué)附中，一是由揚(yáng)州中學(xué)遷川后改建的國(guó)立二中。我考取了國(guó)立二中。我不是對(duì)所有的功課都感興趣，學(xué)得比較好的是英文和數(shù)學(xué)，其它課的成績(jī)只有中上水平。另外，我喜歡音樂和游泳，所以，不是什么時(shí)間都用來讀書。抗戰(zhàn)勝利時(shí)我正好初中畢業(yè)。高二時(shí)復(fù)員到南京，上的社會(huì)教育學(xué)院附中（后來的南京六中）。整個(gè)中學(xué)階段，我是個(gè)中上等學(xué)生，所以沒考上很好的大學(xué)。

Y：哪年考的大學(xué)？考上了哪所大學(xué)？

W：1948 年考的。因總成績(jī)不算好，只考取了英士大學(xué)[3]和安徽大學(xué)兩個(gè)學(xué)校。我去了英士大學(xué)。這下運(yùn)氣又來了，中華人民共和國(guó)成立后這所學(xué)校并入浙江大學(xué)，我就“混入”了浙大。順便說一句，我對(duì)入學(xué)以總分取人始終不大贊成！

Y：浙大對(duì)你最大的影響是什么？

W：浙大當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)系在國(guó)內(nèi)是相當(dāng)好的。有陳建功、蘇步青先生，以及其他很多先生，如張索誠(chéng)，徐瑞云，盧慶駿，白正國(guó)，曹錫華等。浙大的優(yōu)點(diǎn)有兩條。一是它很重視培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推導(dǎo)能力，幾乎所有的考試題目都是證明書上的定理。你把這些定理的邏輯結(jié)構(gòu)真正搞清楚了，考試就能得 100 分。我們接受了這方面的嚴(yán)格訓(xùn)練。二是在四年級(jí)時(shí)有個(gè)學(xué)生的討論班，老師指定一些論文和書，由學(xué)生上臺(tái)去講，使學(xué)生學(xué)會(huì)自己看書讀文章，這是開展獨(dú)立研究的第一步。

Y：你還記得當(dāng)時(shí)啥的主要課程嗎？

W：記得。我是二年級(jí)到浙大的，有一門課叫級(jí)數(shù)概論，搞清了

，一致收斂.....

這是浙大分析課中的精華。三年級(jí)開了復(fù)變函數(shù)，按 Titchmarch 的書教，重視演算。四年級(jí)上實(shí)變課，教了實(shí)數(shù)理論，什么 Lebesgue 積分， Cantor 的集合論初步。分析是浙大最強(qiáng)的。此外，幾何訓(xùn)練在浙大也比較重視。中華人民共和國(guó)成立后還開了幾門新課：初等數(shù)論、拓樸學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)。我覺得這些內(nèi)容到畢業(yè)后確定了專業(yè)再學(xué)也無妨。

Y：你是哪年大學(xué)畢業(yè)的？怎么到的中科院數(shù)學(xué)所？

W：大學(xué)四年，1952 年畢業(yè)，經(jīng)統(tǒng)一分配到了數(shù)學(xué)所。應(yīng)該說我運(yùn)氣非常好，到了一個(gè)數(shù)學(xué)中心，到了大數(shù)學(xué)家華羅庚先生身邊。當(dāng)年科學(xué)院要了四名數(shù)學(xué)系畢業(yè)生，浙大兩名，北大、清華各一名。浙大經(jīng)陳建功和蘇步青先生推薦派了我和孫和生。清華來的是許孔時(shí)，北大畢業(yè)生是何善唷。數(shù)學(xué)所 1952 年 7 月成立，我是 10 月份到所的。

“跟著華老工作的最大好處是……”

Y：你是不是一到所就跟華羅庚搞課題？

W：華羅庚先生曾是數(shù)學(xué)所籌委會(huì)的副主任，正式建所時(shí)出任所長(zhǎng)。他對(duì)建設(shè)數(shù)學(xué)所有個(gè)設(shè)想，先把數(shù)論組和微分方程組搞好，然后一個(gè)組一個(gè)組地建立其他學(xué)科組。我正好碰上他著力建設(shè)數(shù)論組，參加了他主持的兩個(gè)討論班，一個(gè)是他講數(shù)論導(dǎo)引，一個(gè)就是 " Goldbach 猜想“討論班。實(shí)際上，除積分近似計(jì)算外，我從來沒跟華老搞同樣的課題。

Y：華老對(duì)你的主要影響是什么呢？

W：我學(xué)他怎么進(jìn)行思維，這個(gè)很重要。前面已說過他的直覺力很強(qiáng)，他還特別善于啟發(fā)人，善于所謂的 Heuristic method. 他在搞問題時(shí)常讓你看一看他的問題和思路。不管多復(fù)變也好，代數(shù)也好，別的科目也好，他講出來的問題你都聽得懂。處理間題又基本上都是白手起家。你可以看得出來他怎樣思考這個(gè)問題。他常常在問題處理以前先有個(gè)框圖，框圖中的目標(biāo)實(shí)現(xiàn)得了實(shí)現(xiàn)不了并不完全知道，但他有這么個(gè)東西。這是從大數(shù)學(xué)家那里最難學(xué)到手的一招。在把每一步證明嚴(yán)格化以前，他總是先進(jìn)行概算，這時(shí)不管嚴(yán)格性，往前跳得很多。我慢慢領(lǐng)悟到他的直覺力和搞框圖的路子。他的有些學(xué)生沒在這方面花功夫，就吃了一點(diǎn)虧。

Y：請(qǐng)談?wù)勀莾蓚€(gè)討論班上的情況？

W：數(shù)論導(dǎo)引后來出了書，其實(shí)就是他的一個(gè)講義。他從頭到尾講，最后有許多章節(jié)只講個(gè)大概，由學(xué)生詳細(xì)寫成文，這對(duì)學(xué)生是很好的訓(xùn)練。他寫數(shù)論導(dǎo)引相當(dāng)有眼力。早年在美國(guó)時(shí)他曾想寫一本解析數(shù)論的書，據(jù)說書的廣告都已經(jīng)貼出，后來他放棄了。現(xiàn)在看來他放棄得對(duì)。因?yàn)榻馕鰯?shù)論當(dāng)時(shí)正在發(fā)展，你寫好還未出書就可能過時(shí)了，很多重要結(jié)果補(bǔ)不進(jìn)去。而《數(shù)論導(dǎo)引》選的材料都是經(jīng)典的，不大會(huì)過時(shí)，中文本出了 30 年之后還被譯成英文出版。

還有 “Goldbach 猜想” 討論班。他為什么選這個(gè)問題，因?yàn)樗馕鰯?shù)論的方法有全面的聯(lián)系。把一個(gè)個(gè)方法搞透，掌握方法的核心，對(duì)解析數(shù)論也就明白了。他原先并沒想到要去改進(jìn)以前的結(jié)果。

“…如果再進(jìn)不了的話，你這輩子也就這樣了…”

Y：你是在這個(gè)討論班期間證明的“2 + 3”嗎？

W：討論班搞到篩法時(shí)，我們就把國(guó)外原有的結(jié)果改進(jìn)了，講起了我們自己的東西。

我是從 1954 年開始考慮的，1955 年就做出了“3 + 4” , 1956 年繼續(xù)改進(jìn)，除了“2 + 3 ”， 還在 Riemann 猜想下證出了“ 1 + 3”.

Y：做出這個(gè)結(jié)果后的心情怎么樣？當(dāng)時(shí)你還很年輕吧！

W：26 歲。當(dāng)時(shí)很激動(dòng)，首先希望快點(diǎn)發(fā)表，讓中國(guó)人占個(gè)先。我很快給科學(xué)通報(bào)寫了個(gè) note , 華老推薦一下就發(fā)表了。這項(xiàng)成果在當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)所內(nèi)被認(rèn)為是最好的，國(guó)內(nèi)也宣傳過；聽說蘇聯(lián)塔什干的青年報(bào)也登過介紹文章。后來潘承洞跟著做， 證出“1 + 5”和“1 + 4 ”，陳景潤(rùn)做出“1 + 2” 。以后別人再做不出更好的結(jié)果了，除非證掉 Goldbach 猜想。

Y：看來你開的這個(gè)頭還是很有意義。你當(dāng)時(shí)的成功肯定鼓舞了不少搞數(shù)學(xué)的青年。

W：華老當(dāng)時(shí)說本沒想到你們能在這方面有所突破。我做出“2 + 3”后他曾對(duì)我講：

你要能再進(jìn)一步就好了，如果進(jìn)不了的話，你這輩子也就這樣了。這也讓他說中了，我以后在攻難題方面并無進(jìn)步。（笑聲）

Y：我記得 Von Neumann 好象說過數(shù)學(xué)創(chuàng)造的最后年齡是 26 歲，巧合！不過，他后來把這個(gè)上限又提高了。我還想請(qǐng)你說說當(dāng)時(shí)討論班上的氣氛。

W：我覺得我們討論班上的年青人，還不是中國(guó)數(shù)學(xué)素質(zhì)最高的青年，只是索質(zhì)比較高的。如果當(dāng)時(shí)的政策更寬一點(diǎn)，能象華老到廈門大學(xué)去選陳景潤(rùn)那樣，允許在全國(guó)范圍不斷選拔人材，這個(gè)討論班也許能搞得象英國(guó)的 Davenport 討論班那樣出幾個(gè) Fields 獎(jiǎng)得主。

不過話又說回來，我們當(dāng)時(shí)確實(shí)是拼命干的，為建設(shè)好社會(huì)主義，忘我勞動(dòng)，根本沒去想個(gè)人的升級(jí)升職，只是一心一意搞數(shù)學(xué)。在這個(gè)集體中，大家齊心協(xié)力幫華老把數(shù)論導(dǎo)引寫好。說句公平話，能寫成《數(shù)論導(dǎo)引》，華老的功勞也許是 60% 或 70%，其他學(xué)生加起來是 40%或 30%，而我們這些學(xué)生誰也沒計(jì)較自己要不要掛名。這是中華人民共和國(guó)成立初期的大氣候，不光我們，誰不這樣！

Y：你提到了英國(guó)的 Davenport 討論班。對(duì)你們的討論班很有點(diǎn)驚惜，能不能談?wù)勀愕谋Ш叮?/p>

W：談起這件事很痛心，曉得吧！H. Halberstam 在一篇悼念華老的文章中提到，華羅庚和 Davenport 在圓法與三角和估計(jì)方面，是僅次于 Hardy、Littlewood 和 Виноградов 的人物。就做出歷史上站得住腳的成果而言， 華老也許更強(qiáng)。Davenport 的面也很廣，總的說兩人在數(shù)論方面處于同一水平?？墒?，他的討論班出了 K.Roth, A.Baker; Bombieri 也受他影響。三個(gè) Fields 獎(jiǎng)得主。而華老的討論班過早夭折，事實(shí)上到 1957 年后就不允許他正常地搞下去了。他的討論班剛在數(shù)論方面做出點(diǎn)成績(jī)就給轟掉了。我跟他以后的合作只是一種私人間的關(guān)系，沒有組織上的聯(lián)系了。

Y：國(guó)家如果一直處在安定的環(huán)境下，中國(guó)今天數(shù)學(xué)界的面貌恐怕不會(huì)是現(xiàn)在的樣子。

“把 Schmidt 的那套東西推廣到代數(shù)數(shù)域”

Y：你 l957 年做完 Goldbach 猜想方面的工作， 1958 年到 1975 年又完成了積分近似計(jì)算的研究它們分屬純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，下面往什么方向搞呢？

W：上面兩項(xiàng)工作方向不同，時(shí)間上銜接得很緊。從 1975 到 1 980 年，我只是東碰碰、西撞撞，接不上一個(gè)大點(diǎn)的間題。1980 年我隨數(shù)學(xué)家代表團(tuán)訪美，知道 W.Schmidt 非線性丟番圖分析極其成功。我又記起華老在我剛畢業(yè)時(shí)跟我談起的事，他對(duì) Siegel 代數(shù)數(shù)域上的丟番圖方程及華林問題的工作很欣賞，認(rèn)為我們應(yīng)該搞代數(shù)數(shù)域上的不定方程。這兩個(gè)信息碰到一起，我就考慮能不能把 W. Schmidt 的這套東西推廣到代數(shù)數(shù)域上去, 終于找到了一個(gè)好的方向。做到 1985 年，主要結(jié)果都得到了，我寫了三篇論文，結(jié)果好不好不知道，沒拿去發(fā)表。1985 年我到普林斯頓高等研究院工作一年，正巧 W. Schmidt 也在那里。他看了我的手稿。這個(gè)人的加 intuition 也非常強(qiáng)，他看后已經(jīng)猜出我這項(xiàng)研究的最后形式應(yīng)是個(gè)非線性丟番圖不等式組，而且對(duì)不能嵌人到實(shí)數(shù)域里的代數(shù)數(shù)域能證出來。我在普林斯頓的第二個(gè)學(xué)期證出了他的這個(gè)猜測(cè)。他的預(yù)見果然是對(duì)的。天才大概就表現(xiàn)在這些地方。我在這方面的研究成果已寫成書，1991 年春將面世，由 Springer 出版社出版。

從普林斯頓回來差不多又五年過去了，始終沒什么好的想法。

Y：你最近在積極組織密碼討論班，參加的人很多。是不是想在這方面有所作為？

W：我并沒有什么 idea 去搞編碼研究，只是想利用我目前的位置去推動(dòng)一下。密碼學(xué)可以說是最早形成的數(shù)論的應(yīng)用分支，數(shù)值分析也許可以說是在它之后的又一個(gè)數(shù)論應(yīng)用分支。密碼學(xué)比較古老，最近由于技術(shù)的進(jìn)步，面貌變化比較大，我認(rèn)為我們應(yīng)該趁現(xiàn)在的形勢(shì)跟上現(xiàn)代發(fā)展的步伐，這對(duì)整個(gè)國(guó)家都很重要。普林斯頓高等研究院 1990-1991 學(xué)年的中心課題就跟密碼學(xué)有關(guān)。要注意這個(gè)動(dòng)向。

Y：現(xiàn)在有人提出這樣的看法，數(shù)論是最基礎(chǔ)的，也是最有用的。這個(gè)討論班如能堅(jiān)持下去，有出色的年青人上來。你的推動(dòng)說不定對(duì)中國(guó)的數(shù)學(xué)事業(yè)能起些作用。

W：美國(guó)貝爾公司理論研究部主任 R. Graham 在 1990 年的一次公開講演中說，數(shù)論過去認(rèn)為是最沒用的東西，現(xiàn)在數(shù)論成了所有數(shù)學(xué)學(xué)科中最有用的學(xué)科。

Y：你今后的打算能談一點(diǎn)嗎？

W：現(xiàn)在想得到的有幾件事可以做。一是和應(yīng)用數(shù)學(xué)所方開泰他們一起把數(shù)論方法用于統(tǒng)計(jì)研究；一是寫華羅庚傳，實(shí)際是一種回憶錄性質(zhì)的東西[4]。我在當(dāng)數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)和數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)期間，的確是盡了很大的力量，但效果現(xiàn)在很不好說，很多事情很難做。

除上面兩件事之外現(xiàn)在想不出還該干些什么。

Y：學(xué)術(shù)研究方面的前景呢？

W：我想不會(huì)再做出什么了，不會(huì)再有一次青春年華。要干年輕時(shí)做的事要多大的工作量呀，現(xiàn)在這個(gè)年齡吃得消嗎？

Y：真的謝謝你十分坦率的交談。

注釋

[1] 陳嘉庚獎(jiǎng)分“生命科學(xué)獎(jiǎng)”、“農(nóng)業(yè)科學(xué)獎(jiǎng) ”、“物質(zhì)科學(xué)獎(jiǎng)”、“技術(shù)科學(xué)獎(jiǎng)”、“醫(yī)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)”、“地學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)”等六項(xiàng)。從 1988 年始每年頒發(fā)三項(xiàng)（無適當(dāng)頒獎(jiǎng)對(duì)象，可空缺某項(xiàng)）。第一屆頒發(fā)了物質(zhì)、技術(shù)和農(nóng)業(yè)三項(xiàng)獎(jiǎng)，第二屆頒發(fā)其余三項(xiàng)，以后照此輪流頒獎(jiǎng)。該獎(jiǎng)評(píng)委會(huì)主任是周光召。獎(jiǎng)金額為每項(xiàng)三萬元。

[2] Н.М.Коробов, Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов Теории; чисел, Докл. АН СССР, 115(1957), 1062-1065.

[3] 以陳英士命名的大學(xué)。陳英士，浙江吳興人 1906 年入同盟會(huì)。1914 年參加中華革命黨，1916 年被袁世凱收買張宗昌派人刺死于上海。

[4] 筆者在王元教授處見到了華羅庚先生給王元的親筆文字，內(nèi)容是華老對(duì)寫他的傳記的若干條建議。其中關(guān)千積分近似計(jì)算的研究情況，華老寫著“被王元拉上了一條路”。

本文來源 ：《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)》1991年02期

原標(biāo)題：《華羅庚說王元：如果前進(jìn)不了，你這輩子就這樣了｜紀(jì)念王元先生》

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